Plus petit commun multiple de deux entiers relatifs (PPCM)
 

Définition du PPCM de deux entiers relatifs

Soit a et b deux entiers relatifs non nuls, l'ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b admet un plus petit élément appelé le PPCM de a et b. On le note . Remarques :  , donc on travaillera par la suite dans .   divise .

Propriétés du PPCM

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls et si a divise b alors . Si a, b et k sont trois entiers naturels non nuls alors .

PGCD et PPCM

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit et . On a , et l'ensemble des multiples communs à a et b est l'ensemble des multiples de m.

Méthodes de détermination du PPCM

A l'aide du lien PGCD-PPCM   et  ; . Or car a et b sont deux entiers naturels non nuls donc . D'où .   A l'aide de la décomposition en nombres premiers Soit a et b sont deux entiers naturels non nuls.   et .   sont des nombres premiers distincts,   et sont des entiers naturels éventuellement nuls. ,        , où . Exemple :   et , donc .

Petit Théorème de Fermat

Théorème Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors . Corollaire Si p est un nombre premier et a un entier quelconque, alors est divisible par p.