Fraction irréductible :

Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul.

Une fraction est irréductible si a et b sont premiers entre eux.

La fraction est irréductible si et seulement si et sont premiers entre eux.

Or donc .

Donc et sont premiers entre eux si et seulement si et 7 le sont.

Or 7 est un nombre premier, il est donc premier avec tout entier qu'il ne divise pas. Par conséquent et 7 sont premiers entre eux si et seulement si 7 ne divise pas .

Or 7 divise si et seulement si .

Donc 7 divise si et seulement si il existe tel que .

Bilan : la fraction est irréductible si et seulement si l'entier naturel n ne s'écrit pas sous la forme avec .