Méthode pour résoudre dans Z² : ax + by = d où d = PGCD(a ; b)    (9/9)
 

Savoir-faire : résolution d'une équation diophantienne

Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers, et dont les inconnues sont entières. On résout ces équations dans l'ensemble des couples d'entiers relatifs . On pose :  ; , avec a' et b' premiers entre eux.   avec a' et b' premiers entre eux. 1ere étape : recherche d'une solution particulière D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs et tels que : .   Revoir : déterminer les coefficients dans l'égalité de Bezout 2ème étape : recherche des solutions générales   Or D'après le théorème de Gauss, a' divise , ce qui équivaut à : « il existe un entier relatif k tel que  ». Les solutions sont les couples de la forme avec k dans Z.

S'exercer : résoudre une équation diophantienne

Déterminer le . Résoudre dans l'équation diophantienne : .    Voir une solution

S'exercer : résoudre une équation diophantienne

Justifier que l'équation diophantienne admet un couple d'entiers comme solution puis donner une solution particuliere . En déduire une solution particulière de l'équation . Montrer que l'équation diophantienne admet une infinité de couples solutions que l'on déterminera. Complément de cours Etude du cas général avec c multiple de d. On pose   avec a' et b' premiers entre eux. 1ère étape : recherche d'une solution particulière de D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs et tels que : Le couple est une solution particulière de . 2ème étape : recherche des solutions générales On retrouve l'équation du cas particulier étudiée précédemment. Les solutions sont les couples de la forme avec k dans Z.    Voir une solution