Congruences dans Z
 

Définition

Soit n un entier naturel non nul ; a et b deux entiers relatifs. a et b sont « congrus modulo n » lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Notation : ou . Exemples : et d'une façon générale . , car 2003 et 53 ont le même reste c'est-à-dire 3 dans la division euclidienne par 10. donc .

Lien avec la division euclidienne

Soit a un entier relatif quelconque, soit r le reste dans la division euclidienne de a par n : où . Exemple : par conséquent dans la congruence modulo 5, on rencontre 5 cas : ou ou ou ou .

Lien avec la divisibilité

Soit n un entier naturel non nul ; a et b deux entiers relatifs.            «  est divisible par n »            « a est un multiple de n »

Propriétés

Transitivité Si , alors . Opérations et congruences Soit n un entier naturel non nul. Soit des entiers relatifs. Soit p un entier naturel ; soit k un entier relatif : si , alors