1-Placer la matrice A dans une colonne de gauche et la matrice I dans une colonne de droite, puis faire des transformations élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu'à ce qu'on obtienne la matrice I. Or, faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice revient à multiplier à gauche cette matrice par une autre matrice.

Soit P le produit de toutes ces matrices multiplicatives.

Dans la colonne de gauche, la dernière matrice écrite est donc la matrice I et on peut écrire .

On mène en parallèle dans la colonne de droite les mêmes transformations sur la matrice I. La dernière matrice écrite à droite est donc la matrice . C'est donc la matrice inverse de A car .

Première étape des transformations sur les lignes de A: si cela est nécessaire, on permute des lignes de manière à avoir comme élément de la première ligne première colonne un élément non nul.

Deuxième étape :

On se ramène à une matrice de la forme avec a non nul.

Troisième étape : On se ramène à une matrice de la forme avec b non nul puis à une matrice de la forme

Quatrième étape : On se ramène à une matrice de la forme puis

à une matrice de la forme et enfin à la matrice .

2-Utiliser l'écriture matricielle du système et la matrice inverse de A.