[**META]

[*META#TITRE] Matrice inverse (filière STM)
[*META#PROJET] Filière STM
[*META#DISCIPLINE] Mathématiques pour la biologie
[*META#CATALOGUE] 51.57 / gmb.fe.102.b3

[**META#DESCRIPTION]

Cette ressource s'adresse aux étudiants qui ne connaissent pas la notion de déterminant d'ordre 3.

Elle comprend deux exercices de recherche de la matrice inverse d'une matrice. Le calcul de la matrice inverse est fait en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice. On utilise ensuite ce résultat pour résoudre un système linéaire.

[**_META#DESCRIPTION]

[*META#LANGUE_CONTENU] Français (fr)

[*META#STRUCTURE] Arborescence
[*META#AGREGATION] Ressource pédagogique (3)

[*META#VERSION] B3.01 (2004)
[*META#ETAT] Projet

[**META#AUTEUR]

Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique (GUIP) en Mathématiques,
UFR de Mathématiques, Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#AUTEUR]

[**META#EDITEUR]

AMIE, Appui aux Méthodes Innovantes d'Enseignement,
Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#EDITEUR]

[**META#REALISATEUR]

Atelier de Réalisation AMIE (ARéa21),
Université Bordeaux 1, France,
04-2006

[**_META#REALISATEUR]

[*META#FORMAT] text/html
[*META#FORMAT] image/gif

[*META#TAILLE] 000 Ko
[*META#NAVIGATEURS] Tous (version 3 minimum, version 4+ conseillée)

[**META#NOTE_TECHNIQUE]

Affichage minimal conseillé : 800x600 en milliers de couleurs

[**_META#NOTE_TECHNIQUE]

[*META#ACTIVITE] S'exercer

[*META#DUREE] 40 minutes

[**META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[**_META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[*META#CIBLE] Apprenant
[*META#CONTEXTE] Premier cycle universitaire
[*META#AGE] 18+
[*META#LANGUE_CIBLE] Français (fr)
[*META#INTERACTIVITE] Mixte
[*META#NIVEAU_INTERACTIVITE] Fort (3)
[*META#DENSITE_SEMANTIQUE] Faible (1)
[*META#DIFFICULTE] Moyenne (2)

[*META#COUT] Non
[*META#DROITS] Oui

[**META#DESCRIPTION_DROITS]

Copyright © 2006 AMIE, Université Bordeaux 1.
Cette ressource a été écrite et réalisée par le Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique en Mathématiques de l'Université Bordeaux 1.

[**_META#DESCRIPTION_DROITS]

[*META#PREREQUIS] La définition de l'inverse d'une matrice.

[*META#PREREQUIS] La méthode du pivot de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires.

[*META#PREREQUIS] Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice.

[*META#PREREQUIS] L'écriture matricielle d'un système linéaire.

[*META#OBJECTIFS] Calculer, lorsqu'elle existe, la matrice inverse d'une matrice, à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice.
Résoudre un système linéaire lorsque la matrice associée à ce système est inversible et que la matrice inverse est connue.

[*META#TYPE_CLASSIFICATION] Discipline
[*META#SOURCE_CLASSIFICATION] Classification Décimale Universelle (C.D.U.)

[**META#CLASSIFICATION]

5 - Mathématiques et sciences naturelles
51 - Mathématiques
51.57 - Mathématiques pour la biologie

[**_META#CLASSIFICATION]

[**_META]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE
[*ELEMENT#TITRE] Exercice 1

[*ELEMENT#DUREE] 20

[**ELEMENT#ENONCE]

1-Calculer l'inverse de la matrice

2-Résoudre le système

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE2]

1-Placer la matrice A dans une colonne de gauche et la matrice I dans une colonne de droite, puis faire des transformations élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu'à ce qu'on obtienne la matrice I. Or, faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice revient à multiplier à gauche cette matrice par une autre matrice.

Soit P le produit de toutes ces matrices multiplicatives.

Dans la colonne de gauche, la dernière matrice écrite est donc la matrice I et on peut écrire .

On mène en parallèle dans la colonne de droite les mêmes transformations sur la matrice I. La dernière matrice écrite à droite est donc la matrice . C'est donc la matrice inverse de A car .

Première étape des transformations sur les lignes de A: si cela est nécessaire, on permute des lignes de manière à avoir comme élément de la première ligne première colonne un élément non nul.

Deuxième étape :

On se ramène à une matrice de la forme avec a non nul.

Troisième étape : On se ramène à une matrice de la forme avec b non nul puis à une matrice de la forme

Quatrième étape : On se ramène à une matrice de la forme puis

à une matrice de la forme et enfin à la matrice .

2-Utiliser l'écriture matricielle du système et la matrice inverse de A.

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#SOLUTION]

1-Faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice revient à multiplier à gauche cette matrice par une autre matrice.

Dans la colonne de gauche, on fait des transformations élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu'à ce qu'on obtienne la matrice I. La dernière matrice écrite à gauche est donc la matrice I et on peut écrire .

On mène en parallèle dans la colonne de droite les mêmes transformations sur la matrice I. La dernière matrice écrite à droite est donc la matrice . C'est donc la matrice inverse de A car .

Pour les différentes étapes des transformations lire la méthodologie.