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Arithmétique
S'exercer : utiliser les propriétés du PGCD

1) et sont deux entiers naturels non nuls. On pose .

Montrer que .

Aide méthodologique

1. Pour montrer que que , il suffit de prouver que : et .

2. On peut aussi utiliser la propriété : « si est un entier relatif non nul et , alors ».

Solution détaillée
Méthode 1

Montrons que .

divise et donc divise toute combinaison linéaire de et . Par conséquent divise et .

Donc est un diviseur commun de et et il divise le .

Réciproquement montrons que .

divise et donc divise toute combinaison linéaire de et . Par conséquent divise et .

Donc est un diviseur commun de et et il divise le .

Méthode 2

donc

donc

donc

donc

D'où .

2) Soit un entier naturel, on pose et .

Déterminer suivant les valeurs de le .

Solution détaillée

. Donc .

On pose , donc et ou .

signifie qu'il existe tel que ou encore .

1er cas : si est congru à modulo , alors .

2nd cas : si n'est pas congru à modulo , alors .

3) Soit et deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que les diviseurs communs de et sont les diviseurs communs de et .

2. Montrer que .

3. En déduire une méthode de calcul du par différences successives.

Solution détaillée

1. Soit un diviseur commun de et donc divise toute combinaison linéaire de et . Par conséquent divise et et est un diviseur commun de et .

   Réciproquement soit un diviseur commun de et , divise donc est un diviseur commun de et .

2. L'ensemble des diviseurs communs de et est l'ensemble des diviseurs communs de et . Donc le plus grand diviseur commun de et d'une part et de et d'autre part coïncident.

4) Soit et deux entiers naturels non nuls premiers entre eux (c'est-à-dire tels que ).

On pose et .

1. Montrer que et .

2. En déduire que .

Solution détaillée

1. divise et donc divise toute combinaison linéaire de et .

   Donc divise et .

   Par conséquent divise et .

2. Comme divise et , divise .

   Or, par homogénéité du , .

   Donc divise .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |