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Arithmétique
Points d'un plan de l'espace

## Introduction

Prérequis :

- Equation d'un plan de l'espace

- Résolution d'équations diophantiennes

Durée : 60 minutes

Niveau : difficile

Partie A

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère le plan d'équation .

1) Montrer que les plans et sont sécants suivant une droite .

Solution détaillée

1) Un vecteur normal à est et un vecteur normal au plan est .

Ces deux vecteurs et ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles mais sécants suivant une droite .

2)

a. Déterminer un couple d'entiers relatifs solution de l'équation .

b. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation .

Aide méthodologique

b. Revoir la méthode de résolution d'une équation diophantienne du type avec , , et entiers et .

Solution détaillée

2)

a. . On reconnaît ici une identité de Bézout les nombres et étant étrangers. Le couple est solution de l'équation .

b. Du a. on déduit que le couple est solution de l'équation .

Explication
Résolution de cette équation :

On a : donc par soustraction membre à membre : soit .

divise et est premier avec donc d'après le théorème de Gauss, divise . Il existe entier relatif tel que . Il est donc nécessaire que .

Cette condition est-elle suffisante ? Reportons dans l'équation initiale :

avec entier relatif.

Les solutions entières de l'équation sont donc les couples avec entier relatif.

3) Prouver que la droite ne contient qu'un seul point dont les coordonnées sont des entiers naturels. Préciser les coordonnées de ce point.

Aide méthodologique

Trouver un système d'équations caractérisant .

Solution détaillée

3) Une équation du plan est , donc les coordonnées des points de sont solutions du système :

ou encore

Un point de est à coordonnées entières positives si et seulement si ses coordonnées vérifient :

, avec entier.

D'où avec entier : .

De même .

La seule valeur de possible est .

Les coordonnées du point de à coordonnées entières positives sont : .

4) Qu'en est-il pour la droite intersection des plans et ?

Solution détaillée

4) Le vecteur est un vecteur normal au plan . Il n'est pas colinéaire au vecteur donc le plan et le plan sont sécants suivant une droite . Les coordonnées des points de vérifient : .

L'équation n'admet pas de couples d'entiers relatifs solutions car le de et est et n'est pas un multiple de . La droite n'admet pas de points à coordonnées entières.

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer tous les points de dont les coordonnées sont des entiers naturels.

On suppose que de tels points existent.

1) Démontrer que s'écrit avec entier naturel.

Solution détaillée

1) On suppose qu'il existe des entiers naturels , et tels que .

.

est donc un nombre pair. étant impair, doit être impair. La seule possibilité est alors que soit impair.

Il existe donc un entier tel que et comme est positif, est un entier naturel.

2) Soient le reste de la division euclidienne de par et le quotient.

a. Montrer que .

b. En déduire que ou .

Aide méthodologique

a. Penser à la définition de la division euclidienne.

b. Trouver une relation entre et deux des nombres , , ou .

Aide simple

a. Penser aux différentes valeurs possibles de .

b. On peut obtenir . Penser que , et sont des entiers positifs.

Solution détaillée

2)

a. On a avec . Remarquons que et étant des entiers naturels, est aussi un entier naturel.

Remplaçons par et par dans l'équation cartésienne de donnée.

devient soit après simplification : ou encore .

Or comme est divisible par , il est nécessaire que soit aussi divisible par .

Les différentes valeurs possibles de sont , et . Nous allons étudier les différents cas.

- Si , et n'est pas divisible par .

- Si , et est divisible par donc on ne peut exclure le cas .

- Si , et n'est pas divisible par .

Donc ne peut être égal qu'à .

b. Avec , l'équation devient . Or , et sont des entiers naturels donc ils sont tous les trois positifs et inférieurs ou égaux à . avec entier naturel entraîne . Donc les seules valeurs possibles de sont ou .

3) Conclure

Aide méthodologique

Discuter suivant les valeurs de trouvées.

Solution détaillée

Récapitulons : nous cherchons les entiers naturels , et , s'ils existent, qui vérifient l'équation .

Nous avons vu qu'alors :

, avec entier naturel et avec ou .

Étudions le cas où q=0

On a : , et comme les entiers naturels , et sont positifs, .

Étudions le cas où q=1

On a : , et comme les entiers naturels , et sont positifs, .

Nous avons donc trouvé toutes les conditions nécessaires à vérifier par les entiers naturels , et pour qu'ils puissent être solutions de l'équation .

La dernière colonne des tableaux nous prouve que ces conditions sont suffisantes puisque le résultat du calcul est .

Les points de dont les coordonnées sont des entiers naturels sont donc :

, , , , , .

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