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Arithmétique
S'exercer : diviseur commun de deux entiers relatifs

Soit et deux entiers naturels non nuls.

On pose et .

1) Montrer que tout diviseur commun de et est un diviseur commun de et .

Solution détaillée

1) Soit un diviseur commun de et alors divise toute combinaison linéaire de et . Donc divise et .

Et par conséquent est un diviseur commun de et .

2) La réciproque est-elle vraie ? C'est-à-dire tout diviseur commun de et est-il un diviseur de et ?

Solution détaillée

2) Non, la réciproque est fausse. Pour s'en convaincre, il suffit de poser et .

Dans ce cas on a et . est un diviseur commun de et , par contre ce n'est pas un diviseur commun de et .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |