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Arithmétique
S'exercer : utiliser le petit théorème de Fermat

1) est un nombre premier.

Démontrer que, pour tout entier naturel , est divisible par .

Solution détaillée

est un nombre premier.

D'après le corollaire du petit théorème de Fermat : .

Donc pour tout entier naturel :

Par conséquent est divisible par .

2) a.En utilisant les congruences montrer que, pour tout entier naturel , divise .

b.Retrouver ce résultat à l'aide du petit théorème de Fermat.

Solution détaillée

a. donc .

Pour tout entier naturel , donc .

Par conséquent pour tout entier naturel , divise .

b. est un nombre premier qui ne divise pas . D'après le petit théorème de Fermat, . On retrouve le résultat précédent, la fin de la démonstration est identique.

3) Montrer que, quel que soit l'entier naturel non nul, est divisible par .

Solution détaillée

Il suffit de montrer que, quel que soit l'entier naturel non nul, est divisible par et (car et sont premiers entre eux).

On applique le corollaire du petit théorème de Fermat avec et .

Pour : , donc et , donc .

Par conséquent est divisible par .

Pour : .

Par conséquent est divisible par .

Bilan : quel que soit l'entier naturel non nul, est divisible par .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |