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Arithmétique
Résolution d'une équation diophantienne
Définition

Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers, et dont les inconnues sont entières.

On résout ces équations dans l'ensemble des couples d'entiers relatifs .

On pose : ; , avec et premiers entre eux.

avec et premiers entre eux.

1ere étape : recherche d'une solution particulière

D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs et tels que : .

Rappel
Déterminer les coefficients dans l'égalité de Bezout

Soit et deux entiers naturels non nuls ; est leur .

D'après le théorème de Bezout il existe deux entiers relatifs et tels que : .

Le but est de donner un algorithme permettant de déterminer et .

On met en œuvre l'algorithme d'Euclide et on calcule les restes successifs en fonction de et .Le dernier reste non nul est le . On développe alors les calculs de façon à faire apparaître à chaque étape une écriture du reste de la forme .

Déterminons des entiers relatifs et tels que : .

et .

soit donc ,

soit donc ,

soit donc ,

soit donc ,

.

Par conséquent, on a : ; et .

2ème étape : recherche des solutions générales

Or

D'après le théorème de Gauss, divise , ce qui équivaut à : « il existe un entier relatif tel que ».

Les solutions sont les couples de la forme avec dans .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |