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Arithmétique
S'exercer : propriétés sur les diviseurs

1) Déterminer les entiers relatifs tels que divise .

Aide méthodologique

Pour déterminer les entiers tels que divise , on égale aux diviseurs de .

Solution détaillée

L'ensemble des diviseurs dans de est .

divise si et seulement si .

étant un entier relatif, seules les équations suivantes ont des solutions dans :

Donc il y a quatre solutions : , , et .

2) Répondre par vrai ou faux en justifiant.

1. Si , alors .

2. Si , alors ou .

3. Dans , si et et , alors .

Solution détaillée

1. C'est faux ! Il suffit pour s'en convaincre d'observer l'exemple suivant :

   et ne divise pas .

2. C'est faux ! Il suffit pour s'en convaincre d'observer l'exemple suivant :

   pourtant ne divise ni ni .

3. C'est vrai ! Si et alors, par transitivité, .

   Or si, dans , et , alors .

   De même, en remplaçant dans les données, si dans , et , alors .

   Donc, dans , si et et , alors .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |