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Arithmétique
S'exercer : déterminer un entier naturel

Déterminer les valeurs de l'entier naturel telles que la fraction est irréductible.

Aide simple

Fraction irréductible :

Soit et deux entiers relatifs avec non nul.

Une fraction est irréductible si et sont premiers entre eux.

Solution détaillée

La fraction est irréductible si et seulement si et sont premiers entre eux.

Or donc .

Donc et sont premiers entre eux si et seulement si et le sont.

Or est un nombre premier, il est donc premier avec tout entier qu'il ne divise pas. Par conséquent et sont premiers entre eux si et seulement si ne divise pas .

Or divise si et seulement si .

Donc divise si et seulement si il existe tel que .

Bilan :

La fraction est irréductible si et seulement si l'entier naturel ne s'écrit pas sous la forme avec .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |