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Arithmétique
PGCD, PPCM

## Introduction

Prérequis :

- PGCD

- PPCM

- Résolution d'équations diophantiennes

Durée : 60 minutes

Niveau : moyen

Soit un entier relatif. On considère les nombres et tels que : et . On appelle leur .

1) Quelles sont les valeurs possibles de ?

Aide méthodologique

Écrire une combinaison linéaire de et indépendante de .

Aide simple

Calculer : .

Solution détaillée

1) La méthode est classique et utilise la propriété (1) : tout diviseur de deux nombres divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres. Il suffit ici d'écrire une combinaison linéaire de et indépendante de .

Dans le coefficient devant est et dans il est . On calcule donc : .

. divise et donc est un diviseur positif de . Les valeurs possibles de sont ou .

2) Montrer que est égal à .

Aide méthodologique

Pour démontrer que établir les deux inégalités et .

Aide simple

Utiliser pour prouver que divise .

Solution détaillée

2) Nous allons démontrer ce résultat par une méthode classique.

Pour démontrer que nous allons établir les deux inégalités et .

D'après la question précédente divise et , donc divise . Comme et sont des nombres positifs on a : .

Réciproquement est le de et , donc est un diviseur positif de d'où il est égal à ou à .

On a . En réutilisant la propriété (1) : divise et donc divise . Or est premier avec ( ou ), donc d'après le théorème de Gauss divise . divise et donc divise et .

Finalement : et donc .

3) Déterminer les entiers relatifs tels que soit égal à .

Aide méthodologique

Montrer que le problème se ramène à résoudre une équation diophantienne.

Aide simple

Résoudre l'équation diophantienne : .

Aide détaillée

Une solution particulière de l'équation est et .

Solution détaillée

3) est égal à si et seulement si est égal à c'est-à-dire si et seulement si est divisible par soit si et seulement si il existe un entier tel que : .

.

On reconnaît ici une identité de Bézout et comme et sont premiers entre eux, cette équation a des solutions entières.

Résolution de cette équation :

Une solution particulière est et .

On a .

Donc par soustraction membre à membre : soit .

divise et est premier avec donc d'après le théorème de Gauss, divise . Il existe entier relatif tel que . Il est donc nécessaire que .

Cette condition est-elle suffisante ? Reportons dans l'équation initiale :

avec entier relatif.

Les solutions entières de l'équation sont donc les couples avec entier relatif.

Finalement : si et seulement si avec entier relatif,

ou : si et seulement si .

Vérification :

Si alors et .

et sont tous les deux divisibles par , et comme et sont premiers entre eux (en effet et on applique la propriété (1)), le de et est bien .

4) Déterminer les entiers et tels que et .

Rappel de cours

Chercher dans le cours une relation faisant intervenir .

Aide méthodologique

Solution détaillée

Soit le de et . On a une relation importante : .

donc, d'après la vérification ci-dessus, et , .

On remarque que et sont de même signe, ils sont tous les deux positifs si et tous les deux négatifs si . Donc .

Les solutions de cette équation sont et . Or est un entier donc la seule réponse est .

On obtient donc : .

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