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Arithmétique
S'exercer : résoudre une équation diophantienne

1)

a. Déterminer le .

b. Résoudre dans l'équation diophantienne : .

Solution détaillée

a. et donc .

b.

Déterminons une solution particulière de l'équation .

On utilise l'algorithme d'Euclide :

donc ,

donc ,

donc ,

donc .

D'où et le couple est une solution particulière de l'équation .

Or

D'après le théorème de Gauss, divise . Donc il existe un entier relatif tel que .

Les solutions de l'équation sont les couples de la forme avec dans .

2)

a. Justifier que l'équation diophantienne admet un couple d'entiers comme solution puis donner une solution particulière .

b. En déduire une solution particulière de l'équation .

c. Montrer que l'équation diophantienne admet une infinité de couples solutions que l'on déterminera.

Rappel de cours

Complément de cours

Etude du cas général avec multiple de .

On pose

avec et premiers entre eux.

1ère étape : recherche d'une solution particulière de

D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs et tels que :

Le couple est une solution particulière de .

2ème étape : recherche des solutions générales

On retrouve l'équation du cas particulier étudiée précédemment.

Les solutions sont les couples de la forme avec dans .

Solution détaillée

2)

a. 3 et 7 étant premiers entre eux, d'après l'égalité de Bezout. il existe deux entiers relatifs et tels que .

On peut remarquer que donc le couple est une solution particulière de l'équation .

b. donc et le couple est une solution particulière de .

c.

Or

D'après le théorème de Gauss, 3 divise , donc il existe un entier relatif tel que .

Les solutions de l'équation sont les couples de la forme avec dans .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |