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Arithmétique
S'exercer : opérations et divisibilité

1) et implique-t-il ?

Solution détaillée

Non ! Il suffit pour s'en convaincre d'observer l'exemple suivant :

On pose ; et .

Donc et pourtant ne divise pas .

2) Déterminer les entiers relatifs tels que divise .

Aide méthodologique

Pour résoudre un problème du type , on se ramène (en utilisant les opérations et la divisibilité) à où est un entier naturel.

Solution détaillée

divise donc divise .

Or divise .

Donc divise .

Or, dans , l'ensemble des diviseurs de est .

Par conséquent .

Apres vérification (nécessaire !), les solutions sont : , , et .

3) est un entier naturel, et .

Prouver que les seuls diviseurs positifs communs aux entiers et sont et .

Solution détaillée

Soit un diviseur positif commun aux entiers et , divise toute combinaison linéaire de et donc divise .

Par conséquent ou .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |