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Arithmétique
Les nombres 11...1

## Introduction

Prérequis : Congruences

Durée : 40 minutes

Niveau : moyen

désigne un entier naturel supérieur ou égal à . est le nombre entier dont l'écriture décimale est constituée de chiffres : .

On a . On remarque que c'est-à-dire que est divisible par .

On s'intéresse au problème suivant : est-ce la seule valeur de pour laquelle est divisible par ?

1) Calculer . En déduire que est divisible par .

Solution détaillée

, donc en prenant et .

est un entier et est non nul donc est un entier non nul. D'où, divise .

2) Démontrer que est divisible par .

Aide méthodologique

Utiliser les propriétés sur les congruences.

Solution détaillée

donc soit . De même d'où soit ou .

D'où est divisible par c'est-à-dire qu'il existe entier non nul tel que .

3) Exprimer en fonction de puis démontrer que est divisible par .

Aide méthodologique

Factoriser et faire apparaître .

Solution détaillée

, donc d'après la question 1) soit ou encore et finalement .

Donc est divisible par .

4) Déduire des questions précédentes qu'il existe une infinité de valeurs de pour lesquelles est divisible par .

Aide méthodologique

Utiliser que est divisible par pour prouver que est divisible par . En déduire la propriété à démontrer par récurrence.

Aide simple

La propriété à démontrer par récurrence est : est divisible par .

Aide détaillée

Pour montrer que la propriété est héréditaire utiliser que avec .

Solution détaillée

On sait que est divisible par donc est divisible par . Or d'après la question précédente est divisible par , donc est divisible par . De même divise et est divisible par , donc divise . On voit apparaître un raisonnement par récurrence : pour entier supérieur ou égal à , est divisible par .

- Initialisation : la propriété est vraie pour car est divisible par .

- Hérédité : supposons que la propriété est vraie à un certain rang et montrons qu'alors elle est vraie au rang . Dans les exemples ci-dessus nous avons utilisé le résultat prouvé à la question 3). Il faut essayer d'écrire sous la forme . On a avec . D'où est divisible par (résultat question 3)). Or d'après l'hypothèse est divisible par puisque la propriété est supposée vraie au rang . On en déduit que est divisible par c'est-à-dire par . La propriété est vraie au rang .

- Conclusion : la propriété est vraie au rang et est héréditaire donc elle est varie pour tout entier supérieur ou égal à . Il existe donc une infinité de valeurs de pour lesquelles est divisible par , il suffit de prendre avec .

Attention

Nous n'avons pas prouvé que ce sont les seules valeurs de pour lesquelles est divisible par .

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