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Arithmétique
S'exercer : diviseurs premiers
Problème

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier)

1) Si l'entier naturel est premier, alors n'est pas un entier.

Solution détaillée

1) Utilisons un raisonnement par l'absurde et supposons que soit un entier , alors .

De plus comme est premier, est différent de et .

Par conséquent possède au moins trois diviseurs distincts : , et . Et ceci contredit le fait que soit premier.

Donc n'est pas un entier. La proposition est donc vraie.

2) Pour un entier naturel, ; n'est jamais premier.

Solution détaillée

2) . Comme , et, et sont deux diviseurs propres de .

n'est pas premier.

Problème

Soit un entier ( ).

On pose (=factorielle )

1) Soit un nombre premier divisant N Montrer que .

Solution détaillée

1) Utilisons un raisonnement par l'absurde et supposons que . Alors

Comme est un entier premier, donc ne divise pas et ne divise pas .

Et ceci contredit l'hypothèse « divise », donc .

2) Que peut-on en conclure sur l'ensemble des nombres premiers ?

Solution détaillée

2) Pour tout entier , admet un diviseur premier donc d'après la question 1, . On peut toujours déterminer un entier premier supérieur à n'importe quel entier supérieur ou égal à .

Cela signifie que l'ensemble des nombres premiers est infini.

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |