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Arithmétique
S'exercer : PGCD et PPCM

Déterminer les couples d'entiers naturels vérifiant et .

Solution détaillée

On pose .

Il existe donc deux entiers naturels et premiers entre eux tels que : et .

Or .

De plus .

Par conséquent divise et . Or ; donc divise .

1er cas : d=3

et sont deux diviseurs propres de dont la somme est et le produit .

Si est solution de ce système alors et sont les solutions de l'équation du second degré : .

Cette équation possède deux solutions entières : et .

Il y a deux couples solutions : et .

Il y a deux couples solutions : et .

2ième cas : d=1

et sont deux diviseurs propres de dont la somme est et le produit .

Si est solution de ce système alors et sont les solutions de l'équation du second degré : .

Cette équation ne possède pas de solutions entières donc il n'y a pas de couples solutions.

BILAN :

il y a deux couples solutions : et .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |