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Arithmétique
Irrationalité d'un nombre

## Introduction

Prérequis :

- Nombres premiers entre eux

- Théorème de Gauss

Durée : 50 minutes

Niveau : moyen

Cet exercice étudie l'irrationalité du nombre .

1) Exprimer en fonction de .

En déduire que est solution de l'équation : .

Aide méthodologique

Penser aux formules d'addition et de duplication des sinus et cosinus.

- ,

- ,

- et

- .

Aide détaillée

.

et l'on connaît la valeur de .

Solution détaillée

On rappelle que :

- ,

- ,

- et

- .

On a :

Remarque

On remarque que et , d'où en posant dans la formule précédente : , soit , ou encore et finalement .

D'où est solution de l'équation : .

2) Supposons que admette une solution rationnelle irréductible de la forme , avec et deux entiers relatifs.

a.Montrer que divise . En déduire que divise , puis donner les valeurs possibles de .

b.Montrer que ne peut-être égal qu'à , , ou .

c.Conclure.

Aide méthodologique

a. Caractériser une fraction irréductible et utiliser le théorème de Gauss.

b. Les valeurs possibles de étant ou , remplacer par ces valeurs dans l'équation et prouver qu'alors divise .

Aide détaillée

a. Démontrer que si divise et premier avec alors divise .

Solution détaillée

a. On suppose que est une solution rationnelle irréductible de .

On a donc : ou encore , avec et entiers premiers entre eux.

divise donc divise .

Montrons qu'alors ou .

divise revient à dire que divise . Or est premier avec donc d'après le théorème de Gauss, divise . On renouvelle la démarche en écrivant sous la forme et par le même théorème de Gauss on obtient que divise . et étant premiers entre eux on en déduit que ou .

b. Cherchons maintenant des renseignements sur .

De , nous déduisons .

divise donc divise , c'est-à-dire divise car ou .

Les diviseurs positifs de sont , , et .

Nous ne retenons que les carrés parfaits donc : ou , c'est-à-dire .

Les seules solutions rationnelles irréductibles possibles de sont : , , ou .

c. Une vérification rapide montre que ces nombres ne sont pas solutions de l'équation .

Les solutions de sont donc irrationnelles.

est un nombre irrationnel.

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