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Arithmétique
Autour des nombres "puissance de 2 moins 1"

## Introduction

Prérequis :

- Nombres premiers

- Décomposition en produit de facteurs premiers

Durée : 50 minutes

Niveau : facile

Partie A : les nombres parfaits

On appelle nombre parfait tout entier naturel dont la somme des diviseurs positifs est égale à .

est un nombre parfait car .

A1) est-il un nombre parfait ?

Solution détaillée

Les diviseurs positifs de sont , , , , et .

, donc est un nombre parfait.

A2) Euclide a énoncé la règle suivante : « Si un nombre s'écrit et si le facteur est premier, alors est un nombre parfait ». On se propose de démontrer ce théorème.

Posons avec premier.

a. Quelle est la décomposition de en produit de facteurs premiers ?

b. En déduire la liste des diviseurs positifs de . Combien y en a t-il ?

c. Démontrer que est parfait.

Il existe une réciproque de ce théorème due à Léonard Euler (1707-1783) :

« Tout nombre parfait pair s'écrit avec premier ». La démonstration est trop compliquée pour être présentée ici. Le problème de savoir s'il existe des nombres parfaits impairs n'est toujours pas résolu.

Rappel de cours

b. Revoir le cours sur la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.

Aide méthodologique

c. Repérer dans la somme les termes indépendants de .

Aide simple

c.

Orientation

Penser à la somme des premiers termes d'une suite géométrique.

Solution détaillée

a. Nous avons avec premier. Nous remarquons qu'alors est différent de . En effet est égal à si et seulement si et n'est pas un nombre premier.

Pour strictement positif, est différent de . est un nombre premier et aussi par hypothèse donc la décomposition de en produit de facteurs premiers est .

Rappel

b. Soit un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : où sont des nombres premiers, sont des entiers strictement positifs. Alors les diviseurs positifs de sont les nombres : avec pour tout entier tel que , .

b. Les nombres premiers et sont respectivement élevés dans la décomposition de à la puissance et . Les diviseurs positifs de sont les nombres , soit , et avec . Il y a façons de choisir l'exposant dans et pour chacune de ces façons il y a 2 façons de choisir l'exposant de , (exposant ou ). Il y a donc diviseurs positifs de .

c. Soit la somme des diviseurs positifs de .

car le nombre ne dépend pas de ; il est donc constant et peut être mis en facteur dans la seconde somme.

On peut encore factoriser et obtenir soit .

Calculons . Nous reconnaissons la somme des premiers termes de la suite géométrique des puissances de . .

D'où , soit . On reconnaît à l'intérieur des crochets le nombre donc . Le nombre est bien un nombre parfait.

Remarque

et .

Partie B : les nombres 2p-1

Nous avons prouvé dans la partie A que les nombres où est premier, sont parfaits. Est-il simple de trouver ces nombres premiers ?

Le mathématicien français Marin Mersenne (1588-1648) affirme que les nombres sont premiers pour certaines valeurs de : , , , , , , , , , , . Il fait une erreur pour et oublie des valeurs. A l'heure actuelle il est prouvé que est premier pour valeurs de inférieures ou égales à .

Nous allons prouver que : si est premier alors est premier.

B1) Montrer que pour tout réel et entier naturel non nul : .

Aide méthodologique

Calculer pour .

Solution détaillée

Pour l'égalité est vérifiée car donc le premier membre de l'égalité est nul et donc le second membre est nul lui aussi, d'où l'égalité.

Pour , est la somme des premiers termes de la suite géométrique des puissances de . On a d'où .

Cette factorisation de est à retenir. Elle est souvent utilisée.

B2) Démontrer que où et sont des entiers naturels non nuls est divisible par .

Aide méthodologique

Utiliser la factorisation de l'expression de la question B1)

Aide simple

Solution détaillée

D'après les propriétés sur les puissances .

Appliquons la propriété de la question 1) en posant : et .

Il vient : .

et sont des nombres entiers non nuls ( ), donc est divisible par .

B3) Conclure.

Aide méthodologique

Soit un diviseur positif de . Déterminer les valeurs possibles de .

Aide simple

D'après la question B2), divise .

Solution détaillée

Nous allons montrer la proposition : si est premier alors est premier.

Soit un diviseur positif de .

D'après la propriété de la question 2), est un diviseur positif de .

Or est un nombre premier donc ou .

La première égalité donne et la deuxième . Les seuls diviseurs positifs de sont et , donc est un nombre premier.

Nous avons montré que si est premier alors est premier.

Remarque

Remarquons que la réciproque de cette propriété est fausse.

La réciproque est : Si est premier alors est premier. Prenons , est premier or n'est pas premier.

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