En utilisant des tables de vérité, montrer les deux égalités suivantes :
1)
2)
,
désignant le complémentaire dans E de la partie F de E.
Cette ressource propose trois exercices plutôt théoriques sur la théorie des ensembles (tables de vérité, intersection, union, complémentaire de parties, images directes ou réciproques de parties par une application, application injective, surjective).
Prérequis :
Temps de travail prévu : 1 heure
Enoncé
Soient E un ensemble, A, B et C des parties de E.
En utilisant des tables de vérité, montrer les deux égalités suivantes :
1)
2) ,
désignant le complémentaire dans E de la partie F de E.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
Une proposition p est soit vraie, soit fausse. Dans un tableau, elle prendra les valeurs V (ou 1) ou F (ou 0) selon qu'elle est vraie ou fausse.
Aide de méthodologie
Si F et G sont deux parties de E, on a l'égalité 
, si et seulement si on a, pour tout 
, l'équivalence : (
), donc si et seulement si, pour tout , les propositions (
) et (
) sont équivalentes.
Si F est une partie de E, on considèrera la proposition que l'on notera 
. On traduit ensuite les deux membres de l'égalité.
Par exemple la proposition 
sera vraie si la proposition "
" est vraie. On utilisera donc la table de vérité de "". De même on utilisera celle de "
", et celle de "
"
Aide supplémentaire
Par exemple, voici les tables de vérité de (non p), p et q et (p ou q)
(La colonne de droite de chaque tableau indique si la proposition est vraie ou fausse selon que les propositions p et q sont vraies ou fausses) :
p | Non p |
| p | q | p et q |
| p | q | p ou q |
V | F |
| V | V | V |
| V | V | V |
F | V |
| V | F | F |
| V | F | V |
|
|
| F | V | F |
| F | V | V |
|
|
| F | F | F |
| F | F | F |
Solution
1) Si F et G sont deux parties de E, on a l'égalité , si et seulement si on a, pour tout , l'équivalence : (), donc si et seulement si, pour tout , les propositions () et () sont équivalentes.
On veut montrer l'égalité .
Or :
Donc en notant 
(respectivement 
et 
) les propositions 
(respectivement 
et 
), on construit la table de vérité de
"et (ou)" qui traduit la proposition 
, et de
"(et) ou (et)" qui traduit la proposition 
.
On obtient :
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( |
V |
V |
V |
V |
V |
|
V |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
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V |
F |
V |
V |
F |
V |
V |
V |
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F |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
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F |
F |
F |
F |
V |
V |
V |
F |
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F |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
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F |
F |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
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F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
|
F |
F |
F |
On remarque que les deux propositions et (ou) et
(et) ou(et) ont simultanément les mêmes valeurs V et F.
Ces deux propositions sont donc équivalentes.
Par conséquent
,
donc : .
2) De même, on construit la table de vérité de "non ( ou ) " qui traduit la proposition 
et la table de vérité de "(non ) et (non )" qui traduit la proposition 
.
On obtient :
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non( |
|
non |
non |
(non |
V |
V |
V |
F |
|
F |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
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F |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
|
V |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
|
V |
V |
V |
On remarque que les deux propositions non(ou et (non)et(non) ont simultanément les mêmes valeurs V et F.
Par conséquent
,
donc : .
Enoncé
Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F, A et B deux parties de E, P et Q deux parties de F.
1) Montrer que l'on a l'égalité :
2) Montrer l'inclusion : 
.
Montrer que si de plus f est injective, alors on a l'égalité :
3) Dans le cas 
et f l'application définie par 
,
trouver deux parties A et B de E telles que l'on ait :
.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
Si A est une partie de E, 
est l'ensemble des images par f des éléments de A : 
.
Si P est une partie de F, 
est l'ensemble des éléments de E dont les images sont dans P : 
.
Aide de méthodologie
3) D'après 2) on sait que l'on a 
,
donc on cherche deux parties A et B telles que 
ne soit pas inclus dans 
.
Aide supplémentaire
3) Pour trouver des parties A et B de R telles que l'on ait : , utiliser le fait que l'application 
n'est pas injective de R dans R.
Solution
1) Pour montrer l'égalité , on montre les deux inclusions :
et 
.
a) On montre :
Soit 
, ceci veut dire que l'on a 
(
).
De (), on déduit 
, ce qui équivaut à 
,
on en déduit aussi 
, ce qui équivaut à 
.
On a bien 
. Donc
b) On montre l'inclusion inverse :
Soit , donc on a , ce qui équivaut à ,
de même on a , ce qui équivaut à ,
Donc : . Par conséquent : .
D'où : .
De a) et b) on déduit l'égalité : .
2) On montre l'inclusion : :
Soit 
; donc il existe 
tel que 
.
Comme , on a 
, de même, puisque 
on a 
.
Par conséquent et 
. Donc :
.
On suppose de plus f injective.
Soit 
. Donc 
, c'est-à-dire qu'il existe 
tel que 
; de même 
: il existe 
tel que 
.
On a, par conséquent 
, et comme f est injective, ceci entraîne 
, d'où 
, par conséquent .
Ceci montre l'inclusion
Donc, si f est injective : .
3) Soit et f l'application définie par . On détermine deux parties A et B de R telles que l'on ait :.
On sait que l'on a ,
donc on cherche deux parties A et B telles que ne soit pas inclus dans .
Par exemple, pour 
et 
, on a les égalités suivantes :
, 
, 
.
Dans cet exemple on a : .
Enoncé
Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F.
1) Montrer que pour toute partie P de F on a 
2) Montrer que les propriétés (i) et (ii) suivantes sont équivalentes :
(i) L'application f est surjective.
(ii) Pour toute partie P de F, on a 
3) Dans le cas et f l'application définie par ,
trouver une partie P de F telle que l'on ait : et 
.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
Si A est une partie de E, est l'ensemble des images par f des éléments de A : .
Si P est une partie de F, est l'ensemble des éléments de E dont les images sont dans P : .
Définition de f surjective : tout élément de F a au moins un antécédent :
Aide de méthodologie
Pour montrer que les deux propriétés (i) et (ii) sont équivalentes, on démontre que (i) implique (ii) et que (ii) implique (i)
Aide supplémentaire
2) Pour montrer que (ii) entraîne (i), on pourra considérer les parties n'ayant qu'un élément.
3) Remarquer que l'on a 
.
Solution
1) Si A est une partie de E, la définition de est :
.
Soit y un élément de 
. Cela veut donc dire qu'il existe un élément a appartenant à tel que .
Or la définition de est : .
Comme a appartient à , on a donc appartient à P.
Par conséquent, l'inclusion est toujours vraie, quelle que soit la partie P de F.
2)
- Montrons que la propriété (i) implique la propriété (ii).
On suppose donc que l'application f est surjective.
On sait, d'après1), que l'on a toujours l'inclusion .
Il reste à montrer l'inclusion 
.
Il s'agit de montrer que tout élément de P est l'image d'un élément de .
Soit 
; comme f est surjective, tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent par f, en particulier 
admet au moins un antécédent 
.
On a donc 
, d'où appartient à .
Par conséquent on obtient :
.
Or donc appartient à .
On a bien , donc d'après 1)
pour toute partie P de F, .
- Réciproquement, montrons que la propriété (ii) entraîne la propriété (i).
On suppose donc que pour toute partie P de F, .
Ceci est donc vraie pour toute partie de la forme 
où b appartient à F.
Donc, pour tout b de F, on a
.
Ceci entraîne, en particulier, que 
est non vide, donc il existe au moins un élément de E qui appartient à , notons a cet élément.
Par définition de , (ici 
) on a
,
c'est-à-dire 
.
On a par conséquent montré que pour tout b de F, il existe un élément a de E tel que : ceci est la définition de f est surjective.
Les propriétés (i) et (ii) sont donc équivalentes.
3) Soient et f l'application définie par .
On cherche P tel que .
Or on sait que l'on a :( d'après la question 1)), et dans cet exemple :.
Pour avoir P non inclus dans , il suffit donc de prendre P contenant des éléments de 
.
Par exemple, soit 
. Donc 
. Par conséquent 
et 
.
On a bien : .