1) Si A est une partie de E, la définition de est :
.
Soit y un élément de . Cela veut donc dire qu'il existe un élément a appartenant à tel que .
Or la définition de est : .
Comme a appartient à , on a donc appartient à P.
Par conséquent, l'inclusion  est toujours vraie, quelle que soit la partie P de F.

2)
- Montrons que la propriété (i) implique la propriété (ii).
On suppose donc que l'application f est surjective.
On sait, d'après1), que l'on a toujours l'inclusion .
Il reste à montrer l'inclusion .
Il s'agit de montrer que tout élément de P est l'image d'un élément de .
Soit ; comme f est surjective, tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent par f, en particulier admet au moins un antécédent .
On a donc , d'où appartient à .
Par conséquent on obtient :.
Or donc appartient à .
On a bien , donc d'après 1)
                   pour toute partie P de F, .

- Réciproquement, montrons que la propriété (ii) entraîne la propriété (i).
On suppose donc que pour toute partie P de F, .
Ceci est donc vrai pour toute partie de la forme où b appartient à F.
Donc, pour tout b de F, on a
                                               .
Ceci entraîne, en particulier, que est non vide, donc il existe au moins un élément de E qui appartient à , notons a cet élément.
Par définition de , (ici ) on a
                                                        ,
c'est-à-dire                                        .
On a par conséquent montré que pour tout b de F, il existe un élément a de E tel que : ceci est la définition de f est surjective.

Les propriétés (i) et (ii) sont donc équivalentes.

3) Soient et f l'application définie par .
On cherche P tel que .
Or on sait que l'on a :( d'après la question 1)), et dans cet exemple :.
Pour avoir P non inclus dans , il suffit donc de prendre P contenant des éléments de .
Par exemple, soit . Donc . Par conséquent et .
On a bien : .