1) Pour montrer l'égalité , on montre les deux inclusions :
      et       .
a) On montre :
Soit , ceci veut dire que l'on a ().
De (), on déduit  , ce qui équivaut à ,
on en déduit aussi , ce qui équivaut à .
On a bien . Donc

b) On montre l'inclusion inverse :
Soit , donc on a , ce qui équivaut à ,
de même on a , ce qui équivaut à ,
Donc : . Par conséquent : .
D'où : .

De a) et b) on déduit l'égalité : .

2) On montre l'inclusion : :
Soit ; donc il existe tel que .
Comme , on a , de même, puisque on a .
Par conséquent et . Donc :
.

On suppose de plus f injective.
Soit . Donc , c'est-à-dire qu'il existe tel que ; de même : il existe tel que .
On a, par conséquent , et comme f est injective, ceci entraîne , d'où , par conséquent .
Ceci montre l'inclusion

Donc, si f est injective : .

3) Soit et f l'application définie par . On détermine deux parties A et B de R telles que l'on ait :.
On sait que l'on a ,
donc on cherche deux parties A et B telles que ne soit pas inclus dans .
Par exemple, pour et , on a les égalités suivantes :
, , .

Dans cet exemple on a : .