poser , avec et réels.

On montre que

est réel si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si (et ).

L'ensemble des points est la droite d'équation , privée de son point d'abscisse .

est réel si et seulement si :

On retrouve la droite d'équation , privée du point d'affixe .

en interprétant comme un nombre de la forme

On pose , .

On a, pour , .

• Si (c'est-à-dire ), alors et est réel.

• Sinon ( , c'est-à-dire ) :

  est réel

  

  

  appartient à la droite , privée de et .

Par conséquent, est réel si et seulement si appartient à la droite , privée de .

poser , avec et réels.

On montre que

est imaginaire pur si et seulement

Or

Ceci est l'équation du cercle de centre et de rayon .

L'ensemble des points est le cercle de centre et de rayon privé du point d'affixe .

en interprétant comme un nombre de la forme .

En posant , .

On a, pour , .

• Si (c'est-à-dire ), alors et est imaginaire pur.

• Sinon ( , c'est-à-dire ) :

  est imaginaire pur

  

  

  appartient au cercle de diamètre , privé de et .

est imaginaire pur si et seulement si appartient au cercle de diamètre , privé de .