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Nombres complexes
Conjecturer et déterminer des lieux géométriques

## Introduction

Prérequis :

- Repère orthonormal direct du plan, coordonnées de points

- Equation cartésienne réduite d'une droite

- Caractérisation vectorielle d'une droite, triangle rectangle isocèle et rotation

Durée : 55 minutes

est un triangle rectangle isocèle de sommet tel que .

A partir de chaque point du segment , on construit les points et , projetés orthogonaux respectifs de sur les droites et , et les points et , sommets du carré de diagonale avec .

On se propose de déterminer les lieux de et lorsque le point décrit le segment

Utiliser l'appliquette pour établir des conjectures sur ces lieux géométriques (Java - env. 150Ko)

On choisit le repère orthonormal avec et .

Dans ce repère, a pour affixe et a pour affixe ( est un réel positif).

1) Montrer que l'affixe du point peut s'écrire où est un réel de . En déduire les affixes des points et .

Aide méthodologique

Utiliser l'écriture algébrique de : avec et réels.

Aide simple

Trouver un lien entre et à l'aide des équations de droites.

Aide simple

Déterminer l'équation réduite de la droite .

Solution détaillée

Dans le repère , on a et .

On détermine l'équation réduite de la droite : .

avec .

2) On note et les affixes respectives de et

Démontrer que : et .

Aide méthodologique

Pour la première relation, utiliser une rotation de centre .

Puis revoir l'écriture complexe d'une rotation de centre .

Aide simple

Soit la rotation de centre et d'angle de mesure .

Si alors .

Aide simple

Remarquer que est l'image de par la rotation de centre et d'angle .

Remarquer que est l'image de par la rotation de centre et d'angle .

Solution détaillée

est l'image de par la rotation de centre et d'angle :

est l'image de par la rotation de centre et d'angle :

3) En déduire que la position du point est indépendante de celle du point .

Préciser cette position par rapport à et .

Aide simple

La position de est indépendante de celle de si et seulement si le complexe est constant.

Aide méthodologique

Développer la première relation et en déduire la valeur de .

Solution détaillée

On remarque que est le milieu du segment .

4) Vérifier que .

En déduire le lieu du point lorsque le point décrit le segment .

Aide méthodologique

Utiliser une relation de colinéarité entre les vecteurs et où a pour affixe .

Aide simple

Observer que et en déduire que décrit un segment parallèle à .

Aide détaillée

On peut utiliser les points et correspondants aux choix respectifs de et puis montrer que décrit le segment .

Utiliser l'appliquette pour observer le lieu du point S (Java - env. 150Ko)

Solution détaillée

Soit le vecteur d'affixe . .

Or .

De plus, le vecteur est un vecteur directeur de la droite .

Par conséquent décrit un segment porté par la parallèle à passant par .

C'est le segment avec et .

Utiliser l'appliquette pour observer le lieu du point S (Java - env. 150Ko)

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