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Nombres complexes
Recherche de l'interprétation géométrique d'une application complexe

## Introduction

Prérequis :

- Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur

- Projection d'un point sur une droite parallèlement à une direction

Durée : 60 minutes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ; on considère le point d'affixe et le point d'affixe avec où est le conjugué de .

Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point à partir du point .

1) Déterminer l'ensemble des points tels que .

Aide à la lecture

Analyse du texte : l'ensemble cherché est l'ensemble des points d'affixe solutions de l'équation avec donc si c'est l'ensemble des points de coordonnées tels que .

Rappel de cours

Egalité de deux nombres complexes écrits sous la forme algébrique.

Aide méthodologique

Pour la résolution de l'équation se rappeler de la méthode basée sur la propriété :

La résolution de l'équation permet de trouver une relation liant et donc de définir l'ensemble cherché par une équation cartésienne.

Solution détaillée

est donc la droite d'équation .

2) Exprimer le nombre en fonction de et de et justifier que ce nombre est réel.

En déduire que le point appartient à la droite passant par et de vecteur directeur .

Aide à la lecture

Analyse du texte : cette question exige 3 réponses ; tout d'abord transformer l'écriture du quotient pour l'écrire en fonction de et puis, à l'aide de cette écriture, justifier que ce quotient est réel ; il faut ensuite justifier que le point (d'affixe ) est sur la droite passant par (d'affixe ) et de vecteur directeur . Le verbe "en déduire" permet de savoir qu'il faut utiliser les résultats précédents.

Rappel de cours

Reconnaître un nombre réel et un nombre imaginaire pur.

Soit un nombre complexe non nul :

est réel si | est imaginaire pur si
--- | ---
Si est écrit sous forme algébrique
Si est écrit sous forme trigonométrique et a pour argument
Si on travaille avec le conjugué

Calculs sur les affixes de vecteurs.

Si et ont pour affixes et , alors :

- a pour affixe ,

- a pour affixe ( ).

Aide méthodologique

Une analyse de l'écriture de trouvée en fonction de et () permet un choix judicieux de l'une des méthodes connues pour justifier qu'un complexe est réel ( ou ou ).

Montrer que le point est sur la droite revient à justifier qu'il existe un réel tel que .

Aide détaillée

Le résultat est un réel permet de dire que pour tout , ou , ; le passage sur les vecteurs ( et sont les affixes respectives de et et est l'affixe du vecteur ) permet de conclure.

Solution détaillée

Soit

d'où .

On remarque que ou encore que , est donc un réel.

On vient de démontrer que est un réel d'où si on le note on a pour tout :

, d'où , et étant les affixes respectives des points , et , on a : , et ; on déduit donc que est sur la droite passant par et de vecteur directeur .

3) Montrer que pour tout nombre complexe , . En déduire que le point est le point d'intersection de et de .

Aide méthodologique

Cette question demande tout d'abord de démontrer l'égalité ; or cette deuxième égalité permet de mener plus facilement les calculs ; ce résultat doit ensuite permettre de justifier (en déduire) que le point est sur et sur et que ces deux droites sont sécantes.

Aide détaillée

A la question précédente il a été démontré que est sur ; a été caractérisée à la première question comme ensemble des points d'affixe vérifiant , et l'on vient de justifier que est d'affixe vérifiant . Pour chacune des droites et un vecteur directeur est connu ; on peut donc facilement justifier qu'elles sont sécantes.

Solution détaillée

d'où :

Pour tout donc .

D'après la question 1, puisque , le point est sur la droite d'équation de vecteur directeur . D'après la question 2 le point est sur la droite de vecteur directeur . Les vecteurs directeurs de et n'étant pas colinéaires ces droites sont donc sécantes en .

4) Enoncer la construction géométrique de à partir de ; caractériser l'application géométrique du plan qui à associe .

Aide méthodologique

La conclusion du 3) permet la construction de , ayant été choisi, le point est alors le point d'intersection de la droite et de la droite passant par dont la direction est donnée par le vecteur . La droite est fixe. Les droites ont toutes la même direction.

Outil

Utiliser l'appliquette pour établir une conjecture (Java - env. 150Ko)

Solution détaillée

Après avoir tracé la droite d'équation , pour obtenir le point correspondant à un point choisi, il suffit de tracer la droite passant par et de vecteur directeur qui coupe en . Cette application du plan qui à associe est la projection sur parallèlement à la direction donnée par le vecteur .

Utiliser l'appliquette pour en voir une illustration graphique (Java - env. 150Ko)

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