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Nombres complexes
Exercice : Calculs dans C : modules, conjugués, colinéarité

## Introduction

Prérequis : Calculs dans C : modules , conjugués , partie réelle et imaginaire , colinéarité de deux vecteurs.

Durée : 40 minutes

Niveau : facile

est un nombre complexe différent de .

1) Comparer et .

Aide simple

Les modules d'un complexe et de son conjugué sont égaux : .

Aide méthodologique

On peut remarquer que et sont conjugués.

Solution détaillée

car un complexe et son conjugué ont même module.

2) On pose , déterminer .

Rappel de cours

Revoir les propriétés algébriques sur les modules.

Aide simple

lorsque .

Solution détaillée

Le module d'un quotient est égal au quotient des modules du numérateur et dénominateur donc :

car

3) On appelle , , et les points du plan complexe d'affixes respectives : , , et .

a. Calculer en fonction de et le nombre , en déduire que est réel.

b. Démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.

Aide méthodologique

a. Remplacer par son expression en fonction de .

b. « Deux vecteurs et sont colinéaires avec » « est un réel », où et désignent les affixes de et .

Aide simple

a. Réduire puis utiliser : .

b. Montrer que : .

Solution détaillée

a.

Or , donc , et .

Or , donc .

Or et sont deux réels donc est un réel.

b.

Or est un réel donc les vecteurs et ont colinéaires.

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