Accueil | Outils
Nombres complexes
Utilisation de l'écriture complexe des rotations pour déterminer les hauteurs d'un triangle

## Introduction

Prérequis : Rotations, rotation et triangle rectangle isocèle

Durée : 50 minutes

Sur les côtés , , et d'un triangle, on construit à l'extérieur de celui-ci, les triangles , , rectangles isocèles respectivement en , et ; , , sont les milieux respectifs des côtés , , .

On considère le repère orthonormal direct avec et ; on note l'affixe de .

1) Déterminer les écritures complexes des rotations : , et ; en déduire les affixes des points et en fonction de .

Rappel de cours

L'écriture complexe d'une rotation de centre et d'angle est donnée par le cours.

Écriture complexe d'une rotation.

Au point on associe par la transformation le point :

Ecriture complexe | Transformation
est un réel |  | Rotation de centre et d'angle

Aide à la lecture

Le texte dit : en déduire les affixes des points et , il faut donc utiliser les écritures complexes trouvées.

Aide méthodologique

Les hypothèses sur la nature des triangles et permettent de justifier que et que .

Solution détaillée

- est la rotation de centre d'affixe et d'angle donc son écriture complexe est :

- est la rotation de centre d'affixe milieu de et d'angle donc son écriture complexe est :

- est la rotation de centre d'affixe milieu de et d'angle donc son écriture complexe est :

- est un triangle rectangle isocèle en et est le milieu de d'où et donc :

- est un triangle rectangle isocèle en et est le milieu de d'où et donc :

2) Montrer que ; en déduire la nature du triangle .

Aide méthodologique

Il suffit de vérifier que les affixes de et vérifient l'écriture complexe de , rotation de centre et d'angle

Solution détaillée

D'après l'écriture complexe de , , donc ;

donc et et le triangle est rectangle isocèle en .

3) Déterminer les hauteurs du triangle .

Aide à la lecture

Intuitivement, et au vu des questions précédentes ou de la figure il semble qu'il faille démontrer que les hauteurs du triangle sont les droites , et .

On sait que par une rotation d'angle , l'image d'une droite est une droite qui lui est perpendiculaire.

Aide méthodologique

Quelles sont les droites images des droites et par ? L'on obtient ainsi les 2 hauteurs et . Par cette démarche, on ne peut pas obtenir que les droites et sont perpendiculaires ; il reste donc la méthode qui permet d'interpréter l'angle à l'aide des complexes.

Rappel de cours

Interprétation géométrique de l'argument.

Soient et deux vecteurs non nuls : .

Solution détaillée

Par la rotation , les points , et ont pour images respectives les points , et donc et donc la droite est perpendiculaire à la droite et la droite est perpendiculaire à la droite ; les droites et sont donc deux hauteurs du triangle .

Vérifions que la droite est la troisième hauteur : donc un argument de est et ; la droite est donc perpendiculaire à la droite , c'est donc la troisième hauteur du triangle .

Utiliser l'appliquette pour en voir une illustration graphique (Java - env. 150Ko)

Précédent Suivant