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Nombres complexes
Exercice : Equation dans C ; valeurs exactes d'un cosinus et d'un sinus à l'aide de l'affixe d'un point

## Introduction

Prérequis :

- Factorisation et équation du second degré dans C.

- Calculs dans C : forme algébrique, forme trigonométrique, modules et arguments.

- Trigonométrie et angles orientés.

Durée : 55 minutes

Niveau : moyen

Pour tout nombre complexe on définit :

1) Vérifier que . En déduire une factorisation de .

Aide méthodologique

On peut prolonger à la méthode suivante utilisée dans :

si est racine du polynôme alors est factorisable sous la forme où est un polynôme dont le degré est égal à .

La méthode utilisée dans , si est racine du polynôme alors est factorisable sous la forme où est un polynôme dont le degré est égal à degré , se prolonge à .

Solution détaillée

donc est racine de et pour tout , où , , vérifient :

Soit .

2) Résoudre dans l'équation . On appelle et les solutions de l'équation autres que , ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que .

Rappel de cours

Utilisation de la factorisation du 1) et du cours sur les équations du second degré dans .

Résolution des équations du second degré

Considérons l'équation :

Le discriminant est .

Soit un nombre complexe tel que .

L'équation admet deux solutions complexes : et .

- Si , les deux solutions sont réelles.

- Si , les deux solutions sont confondues (solution réelle double).

- Si , les deux solutions sont complexes conjuguées.

Solution détaillée
Rappel
Résultat acquis

Expression factorisée de

D'après le 1,

Le polynôme a un discriminant égal à , il admet donc deux racines conjuguées , et l'équation admet pour ensemble de solutions : .

L'on a bien .

3) Placer dans le plan muni d'un repère orthonormal direct (unités graphiques : 2cm), les points , , d'affixes respectives , et , et le milieu de .

Démontrer que le triangle est isocèle. En déduire une mesure de l'angle .

Aide méthodologique

Rôle de la droite dans le triangle .

Aide simple

Relation sur les angles orientés : .

Solution détaillée

et donc le triangle est isocèle en .

est isocèle en et est le milieu de d'où

Or d'où .

4) Calculer l'affixe du point puis le module de l'affixe de . Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de et .

Aide méthodologique

Les relations donnant le cosinus et le sinus de l'argument d'un nombre complexe en fonction des parties réelles ou imaginaires et du module permettent de déterminer et .

Aide simple

Pour : et

Solution détaillée

milieu de d'où d'où :

On a donc :

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