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Nombres complexes
Exercice : Trigonométrie et complexes

## Introduction

Prérequis :

- Calculs dans C : forme algébrique, forme trigonométrique, modules, arguments.

- Trigonométrie

Durée : 55 minutes

Niveau : moyen

est un réel de , est le complexe tel que : , et le complexe tel que : .

Déterminez, en le justifiant très soigneusement, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses ?

Proposition 1

Aide méthodologique

Utiliser les formules de duplication : et .

Solution détaillée

D'après les formules de duplication on a et , donc .

Donc .

Or est un réel de , donc .

On en déduit que .

La proposition 1 est vraie.

Proposition 2

Aide méthodologique

Poser comme argument de modulo .

et .

Solution détaillée

donc d'où .

La proposition 2 est fausse.

Proposition 3

Aide méthodologique

Remarquer que et en déduire le calcul de .

Solution détaillée

donc

La proposition 3 est vraie.

Proposition 4

Aide simple

Remarquer que .

Aide méthodologique

Calculer en utilisant .

Solution détaillée

La proposition 4 est vraie.

Proposition 5

« est réel »

Aide simple

Pour tout complexe non nul, « » « est réel »

Aide méthodologique

Observer le fait que est un réel de .

Solution détaillée

Comme , est un complexe non nul, donc aussi.

« est réel » « ou »

ou

ou

Or est un réel de , donc « est réel » .

La proposition 5 est vraie.

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