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Nombres complexes
Un résultat de géométrie...

## Introduction

L'objectif de cette exercice est d'obtenir le résultat de géométrie suivant : un triangle et le centre de son cercle circonscrit, le point défini par est l'orthocentre de . Dans un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés.

Prérequis :

- Vecteurs, angle de vecteurs

- Hauteur, centre de gravité et orthocentre dans un triangle

Durée : 50 minutes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 4 cm).

On considère les 3 nombres complexes non nuls deux à deux distincts , , tels que . On désigne par , , les points d'affixes respectives , , et le point d'affixe .

1) Soit . Démontrer que est un imaginaire pur et en déduire que et le sont aussi.

Aide méthodologique

Revoir les différentes méthodes pour justifier qu'un nombre complexe est un imaginaire pur.

Rappel de cours

Reconnaître un nombre réel et un nombre imaginaire pur.

Soit un nombre complexe non nul :

est réel si | est imaginaire pur si
--- | ---
Si est écrit sous forme algébrique
Si est écrit sous forme trigonométrique et a pour argument
Si on travaille avec le conjugué

Aide détaillée

Utiliser les propriétés :

1. Caractéristique d'un imaginaire pur à l'aide de son conjugué,

2. ,

3. Conjugué d'une somme, d'un produit.

RAPPEL DE COURS

Conjugué d'une somme, d'un produit.

Solution détaillée

Le conjugué de est égal à l'opposé de donc est un imaginaire pur.

;

en tenant compte de , et l'hypothèse on obtient qui est donc un imaginaire pur.

;

un module est un réel donc est un imaginaire pur.

2) Exprimer en fonction de , , , les affixes des vecteurs et et en déduire que est une hauteur du triangle .

Justifier que est l'orthocentre du triangle .

Aide méthodologique

Interprétation de l'argument du complexe non nul où , , , sont les affixes respectives des points , , , à l'aide de l'angle .

RAPPEL DE COURS

Interprétation géométrique de l'argument.

Soient et deux vecteurs non nuls : .

Quels sont les arguments d'un imaginaire pur ?

Aide détaillée

Il faut justifier que les droites et sont perpendiculaire ; sachant que est un imaginaire pur, on s'intéresse donc à un argument de .

Solution détaillée

a pour affixe et a pour affixe .

a pour argument d'après le 1) c'est un imaginaire pur donc et donc la droite est perpendiculaire à la droite et c'est donc une hauteur du triangle .

En reprenant la même démarche avec , , on établit que la droite est perpendiculaire à la droite . est situé sur deux hauteurs du triangle , c'est donc l'orthocentre.du triangle .

3) est le centre de gravité du triangle ; après avoir précisé son affixe, justifier l'alignement des points , , .

Rappel de cours

Affixe du barycentre d'un système de points pondérés.

Le barycentre de et a pour affixe .

Aide méthodologique

est le centre de gravité du triangle donc l'isobarycentre des points , et ; on a donc .

Solution détaillée

est le centre gravité du triangle c'est donc l'isobarycentre des points , , et il a pour affixe ; on en déduit donc que et que les points , , sont alignés.

4) Dans cette question, , , ; faire la figure et placer et .

Solution détaillée

On remarque que , , sont non nuls et deux à deux distincts et que . est donc l'orthocentre du triangle obtenu ce qui permet une construction géométrique de .

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