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Nombres complexes
Exercice : Etude du nombre complexe j et conséquence géométrique

## Introduction

Prérequis :

- Calculs dans C : forme algébrique, forme exponentielle, arguments.

- Équation de droite.

Durée : 75 minutes

Niveau : difficile

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm).

On dit qu'un triangle équilatéral est direct si et seulement si .

On pose .

1)

a. Vérifier que , , sont solutions de l'équation : .

b. Calculer ; en déduire que .

c. Vérifier que : .

Aide méthodologique

a. Utiliser la formule : où .

b. Développer . Comme conclure.

c. Mettre en facteur dans .

Aide simple

a. Utiliser et .

Solution détaillée

a. ;

b.

Comme , on en déduit .

c.

Or donc .

2) Dans le plan complexe, on considère trois points , et deux à deux distincts, d'affixes respectives , et .

a. Démontrer que le triangle est équilatéral direct si et seulement si : .

b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle est équilatéral direct si et seulement si : .

Aide méthodologique

a. « est équilatéral direct » « et ».

b. Utiliser dans l'égalité .

Aide simple

a. Interpréter géométriquement le module et un argument du complexe

Solution détaillée

a. « est équilatéral direct » « et ».

Or et .

Donc « est équilatéral direct » « et »

b. Or donc « est équilatéral direct » .

Or donc .

En multipliant par , on obtient .

3) A tout nombre complexe , on associe les points , et d'affixes respectives , et .

a. Pour quelles valeurs de les points et sont-ils distincts ?

b. En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble des points d'affixe tels que le triangle soit équilatéral direct est une droite privée d'un point.

Aide méthodologique

a. « est un réel ».

b. Appliquer le résultat avec , et .

Aide simple

b. Puis écrire sous forme algébrique avec et réels.

Aide détaillée

b. Développer afin d'obtenir une équation de la forme .

On pourra alors reconnaître l'équation réduite d'une droite.

Solution détaillée

a. « est un réel », donc et sont distincts pour non réel.

b. n'est pas un réel et .

On applique la question 2b avec , et .

« est un triangle équilatéral direct » .

On pose avec et réels.

Cette équation peut s'écrire : .

L'ensemble des points est la droite d'équation privée du point d'affixe .

Utiliser l'appliquette pour observer l'ensemble des points M (Java - env. 150Ko)

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