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Nombres complexes
Calculs dans C à l'aide d'écritures algébriques ou exponentielles ; interprétation géométrique

## Introduction

Prérequis :

- Equations cartésiennes d'une courbe dans un repère du plan

- Position relative d'une droite et d'un cercle

Durée : 50 minutes

et sont deux nombres complexes et l'on pose : où et désignent les conjugués respectifs de et . Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( )(unité graphique 2 cm).

1) Calculer : , , , .

Montrer que pour tout couple , le nombre est réel.

Aide méthodologique

Pour les calculs :

Si alors son conjugué est .

Si alors son conjugué est .

Pour réel, revoir les différentes méthodes pour justifier qu'un complexe est réel.

Rappel de cours

Reconnaître un nombre réel et un nombre imaginaire pur.

Soit un nombre complexe non nul :

est réel si | est imaginaire pur si
--- | ---
Si est écrit sous forme algébrique
Si est écrit sous forme trigonométrique et a pour argument
Si on travaille avec le conjugué

Conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient.

Aide simple

Utiliser les propriétés :

1) Caractéristique d'un réel à l'aide du conjugué.

2) Conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient.

Aide détaillée

Pour réel, on choisit l'une des caractéristiques :

Pour :

Vu la définition de , l'un de ces choix est plus judicieux.

Solution détaillée

Pour tout couple , ; est égal à son conjugué donc il est réel.

2) On pose et , , , , réels.

Calculer en fonction de , , , . Déterminer alors l'ensemble des points d'affixe tels que ; dessiner dans le repère .

Aide méthodologique

L'ensemble cherché est l'ensemble des points d'affixe donc de coordonnées tels que .

Aide simple

Le calcul de en fonction de et , permet de caractériser l'ensemble à l'aide d'une relation liant les coordonnées des points de .

Orientation

L'ensemble est caractérisé par une équation du type , équation cartésienne d'un droite.

Solution détaillée

est la droite d'équation .

3) On pose et ; et réels, et réels strictement positifs.

Calculer en fonction de , et .

Aide méthodologique

Utiliser les propriétés des écritures exponentielles et la définition de l'écriture , réel.

Rappel de cours

Propriétés des exponentielles complexes.

Pour tous réels et :

- pour tout

Le nombre complexe de module et d'argument est : .

Aide simple

;

quelle est la parité de la fonction sinus ?

Solution détaillée

4) Exprimer en fonction de . Déterminer alors l'ensemble des points d'affixe tels que ; dessiner dans le repère .

Aide simple

L'ensemble cherché est l'ensemble des points d'affixe donc des points vérifiant et tels que et .

Aide méthodologique

Pour la recherche de , se rappeler que le cercle de centre et de rayon est égal à l'ensemble des points tel que .

Solution détaillée

;

donc

est le cercle de centre et de rayon .

5) Déterminer la position relative de et .

Aide méthodologique

Géométriquement on sait qu'une droite et un cercle de centre et de rayon , étant la distance du point à la droite , sont sécants si (2 points communs), tangents si (un seul point commun, c'est le point de tangence), disjoints si (pas de point commun). On a donc 2 méthodes pour justifier la position d'une droite et d'un cercle : comparer la distance du centre du cercle à la droite avec le rayon du cercle ou déterminer le nombre de points d'intersection entre le cercle et la droite.

Utiliser l'appliquette pour en voir une illustration graphique (Java - env. 150Ko)

Aide détaillée

L'ensemble peut être défini par une équation cartésienne , il est donc possible de trouver les points d'intersection de et en résolvant le système formé par les équations cartésiennes de et .

On sait que la distance d'un point à une droite d'équation est , si projeté orthogonal de sur , et .

Orientation

a pour équation cartésienne , on a donc à résoudre le système :

Solution détaillée

Etudier la position de et revient à déterminer le nombre de points d'intersection de et .

La résolution du système (par substition) donne un seul point commun ; c'est le point de coordonnées .

est donc tangente à en ce point.

Méthode

Autre méthode :

La distance du centre à la droite est , avec projeté orthogonal de sur ; donc est tangente au cercle ; cette méthode ne donne pas le point de tangence.

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