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Nombres complexes
S'exercer : identifier un ensemble de points

Soit le point d'affixe , distinct de . Soit .

1) Quel est l'ensemble des points tels que soit réel ?

Essayez de déterminer cet ensemble par au moins deux méthodes différentes.

Outil

Outil pour conjecturer

Aide méthodologique

Trois méthodes sont envisageables :

- 1ère méthode

  On pose ,, et on exprime en fonction de et .

- 2e méthode

  Utiliser une propriété sur le conjugué de .

- 3e méthode

  Exprimer , en faisant intervenir les points d'affixes et .

Solution détaillée
1ère méthode :

poser , avec et réels.

On montre que

est réel si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si (et ).

L'ensemble des points est la droite d'équation , privée de son point d'abscisse .

2e méthode : avec le conjugué

est réel si et seulement si :

On retrouve la droite d'équation , privée du point d'affixe .

3e méthode :

en interprétant comme un nombre de la forme

On pose , .

On a, pour , .

- Si (c'est-à-dire ), alors et est réel.

- Sinon ( , c'est-à-dire ) :

  est réel

  appartient à la droite , privée de et .

Par conséquent, est réel si et seulement si appartient à la droite , privée de .

2) Quel est l'ensemble des points tels que soit imaginaire pur ? (On considère comme imaginaire pur).

Essayez de déterminer cet ensemble par au moins deux méthodes différentes.

Outil

Outil pour conjecturer

Aide méthodologique

Trois méthodes sont envisageables :

- 1ère méthode

  On pose ,, et on exprime en fonction de et .

- 2e méthode

  Utiliser une propriété sur le conjugué de .

- 3e méthode

  Exprimer , en faisant intervenir les points d'affixes et .

Solution détaillée
1ère méthode :

poser , avec et réels.

On montre que

est imaginaire pur si et seulement

Or

Ceci est l'équation du cercle de centre et de rayon .

L'ensemble des points est le cercle de centre et de rayon privé du point d'affixe .

2e méthode :

en interprétant comme un nombre de la forme .

En posant , .

On a, pour , .

- Si (c'est-à-dire ), alors et est imaginaire pur.

- Sinon ( , c'est-à-dire ) :

  est imaginaire pur

  appartient au cercle de diamètre , privé de et .

est imaginaire pur si et seulement si appartient au cercle de diamètre , privé de .

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Equipe Académique Mathématiques, Rectorat de l'Académie de Bordeaux, France, 2003 |