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Nombres complexes
Exercice : Fonction complexe, recherche d'ensembles

## Introduction

Prérequis :

- Calculs dans C : forme algébrique , modules.

- Notion d'antécédents.

- Recherche de lieux géométriques (droites et cercle).

Durée : 75 minutes

Niveau : difficile

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 4 cm).

Soit le point d'affixe et le point d'affixe .

Soit la fonction définie sur par .

1) Vérifier que pour tout de , .

Aide méthodologique

Mettre sous même dénominateur .

Solution détaillée

Pour tout : .

2)

a. Démontrer que n'a pas d'antécédent par .

b. Déterminer les antécédents de et de par .

Aide simple

a. « est un antécédent du complexe par » « ».

Aide méthodologique

a. Résoudre dans l'équation .

b. Résoudre dans l'équation puis

Solution détaillée

a. Pour tout : .

Cette dernière équation n'a pas de solutions dans .

n'a pas d'antécédent par .

b.

est l'unique antécédent de par .

Pour tout :

est l'unique antécédent de par .

3) A tout point différent de , d'affixe , on associe le point d'affixe tel que .

a. Démontrer que pour tout point différent de , le produit des longueurs et est égal à ( ).

b. Démontrer que lorsque décrit le cercle de centre et de rayon , se déplace sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Aide méthodologique

a. Utiliser l'interprétation géométrique des modules.

b.

Aide simple

a. Utiliser et .

b. Pour la recherche de , utiliser la question 2.a : .

Aide simple

a. Calculer .

Solution détaillée

a.

b.

Or donc .

Par conséquent se déplace sur le cercle de centre et de rayon .

Utiliser l'appliquette pour observer les déplacements relatifs de M et M'(Java - env. 150Ko)

4)

a. Déterminer l'ensemble des points tels que soit un nombre réel non nul.

b. Démontrer que lorsque décrit , se déplace sur une droite que l'on précisera.

c. Lorsque décrit , décrit-il toute la droite ?

Aide méthodologique

a. Utiliser la forme algébrique de .

b. Ecrire sous forme algébrique .

c. Vérifier si les coordonnées de décrivent l'ensemble des réels en entier.

Aide simple

a. est un réel non nul si et seulement si et

b. Exprimer et en fonction de .

c. Remarquer que pour tout réel , , donc l'abscisse de ne décrit pas l'ensemble des réels.

Aide simple

b. Déterminer une équation réduite de droite vérifiée par les coordonnées de .

Solution détaillée

a.

« est un réel non nul » « et ».

« est un réel non nul » « et ».

est la droite d'équation privée du point .

b. , avec et deux réels.

« décrit » « et ».

donc .

Donc se déplace sur la droite d'équation .

c. , pour tout réel .

D'où décrit la droite privée du point .

Utiliser l'appliquette pour observer les déplacements relatifs de M et M' (Java - env. 150Ko)

5) Déterminer l'ensemble des points tels que soit un imaginaire pur non nul.

Aide méthodologique

Ecrire sous forme algébrique .

Aide simple

Exprimer et en fonction de et de .

Aide détaillée

est un imaginaire non nul si et seulement si et et .

Solution détaillée

est un imaginaire non nul si et seulement si et et .

Or lorsque (d'après la question 2b).

est un imaginaire non nul :

- si et seulement si et et ,

- si et seulement si et et ,

- si et seulement si et et .

L'ensemble des points est l'axe des imaginaires privé de et de .

Utiliser l'appliquette pour observer les déplacements relatifs de M et M' (Java - env. 150Ko)

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