1ère méthode : poser , avec x et y réels.

On montre que .

Z est réel si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si .

L'ensemble des points M est la droite d'équation , privée de son point d'abscisse 1.

2e méthode : avec le conjugué

Z est réel si et seulement si :

On retrouve la droite d'équation , privée du point d'affixe .

3e méthode : en interprétant Z comme un nombre de la forme

On pose , .

On a, pour , .

• Si (c'est-à-dire ), alors et Z est réel.

• Sinon (, c'est-à-dire ) :

  Z est réel
      
      
      M appartient à la droite , privée de A et B.

Par conséquent, Z est réel si et seulement si M appartient à la droite , privée de B.