1ère méthode : poser , avec x et y réels.

On montre que

Z est imaginaire pur si et seulement ,

Or

Ceci est l'équation du cercle de centre et de rayon .

L'ensemble des points M est le cercle de centre et de rayon privé du point B d'affixe .

2e méthode : en interprétant Z comme un nombre de la forme .

En posant , .

On a, pour , .

• Si (c'est-à-dire ), alors et Z est imaginaire pur.

• Sinon (, c'est-à-dire ) :

  Z est imaginaire pur
      
      
      M appartient au cercle de diamètre , privé de A et B.

Z est imaginaire pur si et seulement si M appartient au cercle de diamètre , privé de B.