dans .
Cette ressource s'adresse aux étudiants de la filière STM.
Elle est composée de deux exercices. Dans chacun d'eux, il s'agit de déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire de dans .
Prérequis :
Temps de travail prévu : 1 heure et 20 minutes
Enoncé
Soit f l'application linéaire de dans dont la matrice relativement à la base usuelle de est : 
.
a-Déterminer le noyau de f. En donner une base.
b-Déterminer une équation de l'image de f. En donner une base.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
1-L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté 
, est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.
2- L'image de l'application linéaire f, noté 
, est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Aide de méthodologie
1- Pour déterminer le noyau de f prendre un vecteur quelconque 
de , calculer, à l'aide de la matrice A, les coordonnées de son image 
dans la base usuelle de , puis déterminer pour quels triplets 
on a l'égalité 
.
2- Un vecteur 
de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que 
. L'égalité se traduit par un système d'inconnue .
Il s'agit de savoir pour quels triplets 
ce système (S) a des solutions. Pour répondre à cette question échelonner le système avec la méthode du pivot de Gauss.
Aide supplémentaire
Contenu :
1-Si sont les coordonnées, dans la base usuelle de , de l'image d'un vecteur quelconque de , on a 
Solution
1- L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.
Soit un vecteur de , 
son image par f,
et sont les coordonnées de 
et dans la base usuelle de 
. La matrice A est la matrice de f relativement à la base usuelle de donc on peut écrire :
Donc, 
. Le noyau de f est la droite vectorielle de base le vecteur 
.
2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système 
Il s'agit donc de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions.
Le système (S) a des solutions si et seulement si 
.
Un vecteur de appartient à si et seulement si . L'image de f est donc le plan de d'équation .
Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs 
et 
sont deux vecteurs non colinéaires de , ils déterminent donc une base de .
Enoncé
Soit 
la base usuelle de . On considère l'application linéaire de dans définie par : 
, 
, 
.
1- Déterminer le noyau de f et en donner une base.
2- Déterminer l'image de f et en donner une base.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
1-L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.
2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Aide de méthodologie
Voir la méthodologie de l'exercice 1. Pour la question 2 on peut aussi chercher une famille génératrice de l'image de f en exprimant qu'un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que et en écrivant qu'il existe 
.
Aide supplémentaire
Contenu :
1-Si sont les coordonnées, dans la base usuelle de , de l'image d'un vecteur quelconque de , on a
Solution
1- L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.
Soit un vecteur de .
. Pour calculer les coordonnées de dans la base B on écrit la matrice A de f relativement à la base B : 
Si et sont les coordonnées de et dans la base B , on peut écrire :
Les trois équations du système sont équivalentes.
. Le noyau de f est donc le plan de d'équation 
.
. Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs 
et 
sont deux vecteurs non colinéaires de , ils déterminent donc une base de .
2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Première méthode :
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système 
Il s'agit donc de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions.
. Le système (S) a des solutions si et seulement si 
et 
.
. L'image de f est donc la droite vectorielle de base 
.
Deuxième méthode :
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que .
Donc, 
.
Comme f est linéaire, 
d'où
L'image de f est donc le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs 
, 
et 
. Or 
et
.
L'image de f est donc engendré par le vecteur . Ce vecteur est non nul. L'image de f est donc la droite vectorielle de base 
.