[**META]

[*META#TITRE] Applications linéaires (filière STM)
[*META#PROJET] Filière STM
[*META#DISCIPLINE] Mathématiques pour la biologie
[*META#CATALOGUE] 51.57 / gmb.fe.101.b3

[**META#DESCRIPTION]

Cette ressource s'adresse aux étudiants de la filière STM.

Elle est composée de deux exercices. Dans chacun d'eux, il s'agit de déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire de dans .

[**_META#DESCRIPTION]

[*META#LANGUE_CONTENU] Français (fr)

[*META#STRUCTURE] Arborescence
[*META#AGREGATION] Ressource pédagogique (3)

[*META#VERSION] B3.01 (2004)
[*META#ETAT] Projet

[**META#AUTEUR]

Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique (GUIP) en Mathématiques,
UFR de Mathématiques, Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#AUTEUR]

[**META#EDITEUR]

AMIE, Appui aux Méthodes Innovantes d'Enseignement,
Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#EDITEUR]

[**META#REALISATEUR]

Atelier de Réalisation AMIE (ARéa21),
Université Bordeaux 1, France,
04-2006

[**_META#REALISATEUR]

[*META#FORMAT] text/html
[*META#FORMAT] image/gif

[*META#TAILLE] 000 Ko
[*META#NAVIGATEURS] Tous (version 3 minimum, version 4+ conseillée)

[**META#NOTE_TECHNIQUE]

Affichage minimal conseillé : 800x600 en milliers de couleurs

[**_META#NOTE_TECHNIQUE]

[*META#ACTIVITE] S'exercer

[*META#DUREE] 80 minutes

[**META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[**_META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[*META#CIBLE] Apprenant
[*META#CONTEXTE] Premier cycle universitaire
[*META#AGE] 18+
[*META#LANGUE_CIBLE] Français (fr)
[*META#INTERACTIVITE] Mixte
[*META#NIVEAU_INTERACTIVITE] Fort (3)
[*META#DENSITE_SEMANTIQUE] Faible (1)
[*META#DIFFICULTE] Moyenne (2)

[*META#COUT] Non

[*META#DROITS] Oui

[**META#DESCRIPTION_DROITS]

Copyright © 2006 AMIE, Université Bordeaux 1.
Cette ressource a été écrite et réalisée par le Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique en Mathématiques de l'Université Bordeaux 1.

[**_META#DESCRIPTION_DROITS]

[*META#PREREQUIS] Le cours sur les applications linéaires.

[*META#PREREQUIS] La résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss.

[*META#OBJECTIFS] Déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire.

[*META#TYPE_CLASSIFICATION] Discipline
[*META#SOURCE_CLASSIFICATION] Classification Décimale Universelle (C.D.U.)

[**META#CLASSIFICATION]

5 - Mathématiques et sciences naturelles
51 - Mathématiques
51.57 - Mathématiques pour la biologie

[**_META#CLASSIFICATION]

[**_META]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE

[*ELEMENT#TITRE] Exercice 1

[*ELEMENT#DUREE] 20

[**ELEMENT#ENONCE]

Soit f l'application linéaire de dans dont la matrice relativement à la base usuelle de est : .

a-Déterminer le noyau de f. En donner une base.

b-Déterminer une équation de l'image de f. En donner une base.

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE1]

1-L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.

2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .

[**_ELEMENT#AIDE1]

[**ELEMENT#AIDE2]

1- Pour déterminer le noyau de f prendre un vecteur quelconque de , calculer, à l'aide de la matrice A, les coordonnées de son image dans la base usuelle de , puis déterminer pour quels triplets on a l'égalité .
2- Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que . L'égalité se traduit par un système d'inconnue .

Il s'agit de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions. Pour répondre à cette question échelonner le système avec la méthode du pivot de Gauss.

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#AIDE3]

Contenu :

1-Si sont les coordonnées, dans la base usuelle de , de l'image d'un vecteur quelconque de , on a

[**_ELEMENT#AIDE3]

[**ELEMENT#SOLUTION]

1- L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.

Soit un vecteur de , son image par f,
et sont les coordonnées de et dans la base usuelle de . La matrice A est la matrice de f relativement à la base usuelle de donc on peut écrire :

Donc, . Le noyau de f est la droite vectorielle de base le vecteur .
2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système

Il s'agit donc de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions.

Le système (S) a des solutions si et seulement si .

Un vecteur de appartient à si et seulement si . L'image de f est donc le plan de d'équation .

Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de , ils déterminent donc une base de .

[**_ELEMENT#SOLUTION]

[**_ELEMENT]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE
[*ELEMENT#TITRE] Exercice 2

[*ELEMENT#DUREE] 20

[**ELEMENT#ENONCE]

Soit la base usuelle de . On considère l'application linéaire de dans définie par : , , .

1- Déterminer le noyau de f et en donner une base.

2- Déterminer l'image de f et en donner une base.

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE2]

Voir la méthodologie de l'exercice 1. Pour la question 2 on peut aussi chercher une famille génératrice de l'image de f en exprimant qu'un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que et en écrivant qu'il existe .

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#SOLUTION]

1- L'application f est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.

Soit un vecteur de .

. Pour calculer les coordonnées de dans la base B on écrit la matrice A de f relativement à la base B :

Si et sont les coordonnées de et dans la base B , on peut écrire :

Les trois équations du système sont équivalentes.

. Le noyau de f est donc le plan de d'équation .

. Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de , ils déterminent donc une base de .

2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .

Première méthode :
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système