1- L'application f  est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.

Soit un vecteur de , son image par f,
et sont les coordonnées de  et dans la base usuelle de . La matrice A est la matrice de f  relativement à la base usuelle de donc on peut écrire : 

Donc, . Le noyau de f est la droite vectorielle de base le vecteur .
2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f  , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système

Il s'agit donc de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions.

Le système (S) a des solutions si et seulement si .

Un vecteur de appartient à si et seulement si . L'image de f est donc le plan de d'équation .

Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de  , ils déterminent donc une base de .