1- L'application f  est une application linéaire de dans . Son noyau, noté , est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par f est égale au vecteur nul.

Soit un vecteur de .

 . Pour calculer les coordonnées de dans la base B on écrit la matrice A de f  relativement à la base B :

Si et sont les coordonnées de  et dans la base B , on peut écrire : 

Les trois équations du système sont équivalentes.

. Le noyau de f est donc le plan de d'équation .

. Pour avoir une base de il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires de . Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de , ils déterminent donc une base de .

2- L'image de l'application linéaire f, noté , est l'ensemble des images, par f  , des vecteurs de . C'est un sous-espace vectoriel de .

Première méthode :
Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que , c'est-à-dire, si et seulement si, il existe vérifiant le système

Il s'agit donc de savoir pour quels triplets ce système (S) a des solutions.

. Le système (S) a des solutions si et seulement si et .

 . L'image de f est donc la droite vectorielle de base .

Deuxième méthode :

Un vecteur de appartient à si et seulement si, il existe un vecteur de tel que .

Donc, .

Comme f est linéaire, d'où

 L'image de f est donc le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs , et . Or et .

L'image de f est donc engendré par le vecteur . Ce vecteur est non nul. L'image de f est donc la droite vectorielle de base .