Cette ressource s'adresse aux étudiants qui connaissent la notion de valeur propre et vecteur propre mais qui ne connaissent pas la notion de déterminant d'ordre 3.
Elle est composée de quatre exercices de recherche des valeurs propres et vecteurs propres d'une application linéaire de R2 dans R2 (pour les deux premiers) et d'une application linéaire de R3 dans R3 (pour les deux derniers)
Prérequis :
Temps de travail prévu : 1 heure et 20 minutes
Enoncé
Soit f l'application linéaire de R2 dans R2 dont la matrice dans la base canonique de R2 est
1-Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
2-Trouver une base de R2 formée de vecteurs propres de f et écrire la matrice de f dans cette base.
Durée : 15 minutes
Aide de lecture
Le réel 
est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur 
non nul tel que 
. Le vecteur 
est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .
Soit A la matrice de f dans une base B de R2 et 
. Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle 
ou 
admet d'autres solutions que la solution nulle.
Aide de méthodologie
Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle, donc si et seulement si 
.
Pour chercher les valeurs propres de f , on calcule 
et on cherche les valeurs de pour lesquelles 
.
Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre 
on résout le système .
Solution
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si .
L'application f a deux valeurs propres 
et 
.
Soit 
le sous-espace propre associé à la valeur propre et 
un vecteur de R2 . On pose 
. est la droite vectorielle de base 
.
On détermine de même le sous-espace propre 
associé à la valeur propre .
Soit un vecteur de R2 :
. Donc est la droite vectorielle de base 
.
Les vecteurs 
et 
sont des vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de R2.
Soit 
. Comme 
et 
, la matrice D de f dans la base 
est : 
, la matrice de passage de la base B à la base est 
et 
. L'application f ( ou la matrice A ) est diagonalisable.
Enoncé
Soit f l'application linéaire de R2 dans R2 dont la matrice dans la base canonique de R2 est 
1-Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
2-Peut-on trouver une base de R2 formée de vecteurs propres de f ?
Durée : 15 minutes
Aide de lecture
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que . Le vecteur est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .
Soit A la matrice de f dans une base B de R2 et . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle ou admet d'autres solutions que la solution nulle.
Aide de méthodologie
Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle, donc si et seulement si .
Pour chercher les valeurs propres de f , on calcule et on cherche les valeurs de pour lesquelles .
Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre on résout le système .
Solution
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si 
.
L'application f a une seule valeur propre 
, d'ordre de multiplicité 2.
Soit 
le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de R2 . On pose
. est la droite vectorielle de base . Tous les vecteurs propres de f appartiennent à cette droite vectorielle. On ne peut donc pas trouver deux vecteurs propres linéairement indépendants. On ne peut donc pas trouver une base de R2 formée de vecteurs propres de f . L'application f ( ou la matrice M ) n'est pas diagonalisable.
Enoncé
Soit f l'application linéaire de R3 dans R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est 
1-Déterminer les valeurs propres de f.
2-Déterminer les sous-espaces propres de f.
3- Trouver une base de R3 formée de vecteurs propres de f et écrire la matrice de f dans cette base.
Durée : 25 minutes
Aide de lecture
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que . Le vecteur est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .
Soit 
. Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle ou 
admet d'autres solutions que la solution nulle.
Aide de méthodologie
1-Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.
Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.
On utilise la propriété suivante : le système (S) a une solution unique si et seulement si il est équivalent à un système triangulaire dont les coefficients de la diagonale sont non nuls.
2- Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre on résout le système en utilisant les transformations déjà faites lors de la recherche des valeurs propres.
Solution
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.
Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.
On échange 
et 
pour avoir un pivot non nul :
Si 
la deuxième ligne est nulle et si 
la troisième ligne est nulle. Donc si ou le système admet d'autres solutions que la solution nulle. Donc et sont des valeurs propres de A.
Si 
et 
, on peut faire les opérations 
Le système obtenu est un système triangulaire. Il a une solution unique si et seulement si les coefficients de la diagonale sont non nuls, c'est-à-dire si et seulement si 
. D'où 
est une valeur propre de f.
L'application f a trois valeurs propres distinctes 
, 
et 
.
2-Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre , 
un vecteur de R3 et .
On utilise les résultats précédents pour résoudre le système (S), d'écriture matricielle 
, pour les trois valeurs propres obtenues.
Si 
le système (S) obtenu est équivalent au système échelonné : 
. est la droite vectorielle de base 
.
Si 
, 
. est la droite vectorielle de base 
.
Si 
. 
est la droite vectorielle de base 
.
Les vecteurs , et 
sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de R3.
Soit 
, 
donc
,
donc 
et
donc 
.
La matrice 
de f dans la base est : 
. La matrice de passage de la base B à la base est 
et . L'application f
( ou la matrice A ) est diagonalisable.
Enoncé
Soit f l'application linéaire de R3 dans R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est 
1-Déterminer les valeurs propres de f.
2-Déterminer les sous-espaces propres de f.
3- Trouver une base de R3 formée de vecteurs propres de f et écrire la matrice de f dans cette base.
Durée : 25 minutes
Aide de lecture
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que . Le vecteur est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .
Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle ou admet d'autres solutions que la solution nulle.
Aide de méthodologie
1-Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.
Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.
On utilise la propriété suivante : le système (S) a une solution unique si et seulement si il est équivalent à un système triangulaire dont les coefficients de la diagonale sont non nuls.
2- Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre on résout le système en utilisant les transformations déjà faites lors de la recherche des valeurs propres.
Solution
Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.
Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.
On échange 
et pour avoir un pivot égal à 1 :
Si 
la deuxième et la troisième ligne sont nulles. Donc 
est une valeur propre de A.
Si 
, 
.
Le système obtenu est un système triangulaire. Il a une solution unique si et seulement si les coefficients de la diagonale sont non nuls, c'est-à-dire si et seulement si 
. D'où 
est une valeur propre de f.
L'application linéaire f a deux valeurs propres distinctes 
et 
.
2-Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre , un vecteur de R3 et .
On utilise les résultats précédents pour résoudre le système (S), d'écriture matricielle , pour les deux valeurs propres obtenues.
Si 
le système (S) obtenu est équivalent à l'équation 
est un plan vectoriel de R3. Les vecteurs 
et 
sont deux vecteurs non colinéaires de , ils forment donc une base de .
Si 
, le système (S) obtenu est équivalent au système échelonné
. est la droite vectorielle de base 
.
est une base de , 
est une base de donc la famille 
est libre et les vecteurs , et forment une base de R3.
Soit . Comme 
,
, 
la matrice D de f dans la base est : 
.
La matrice de passage de la base B à la base est 
et .