Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture  matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.

Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.

On échange et pour avoir un pivot non nul :

Si la deuxième ligne est nulle  et si la troisième ligne est nulle. Donc si ou le système admet d'autres solutions que la solution nulle. Donc et sont des valeurs propres de A.

Si et , on peut faire les opérations    

Le système obtenu est un système triangulaire. Il a une solution unique si et seulement si les coefficients de la diagonale sont non nuls, c'est-à-dire si et seulement si  . D'où est une valeur propre de f.

L'application  f  a trois valeurs propres distinctes  , et .

2-Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre , un vecteur de R³  et .

On utilise les résultats précédents pour résoudre le système (S), d'écriture matricielle , pour les trois valeurs propres obtenues. 

Si le système (S) obtenu est équivalent au système échelonné :

. est la droite vectorielle de base .

Si ,

. est la droite vectorielle de base .

Si

. est la droite vectorielle de base .

Les vecteurs , et sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de R³.

Soit ,  donc ,

donc et

  donc .

 La matrice de f dans la base est :  . La matrice de passage de la base B à la base est et . L'application f

( ou la matrice A ) est diagonalisable.