[**META]

[*META#TITRE] Valeurs propres et vecteurs propres (filière STM)
[*META#PROJET] Filière STM
[*META#DISCIPLINE] Mathématiques pour la biologie
[*META#CATALOGUE] 51.57 / gmb.fe.103.b3

[**META#DESCRIPTION]

Cette ressource s'adresse aux étudiants qui connaissent la notion de valeur propre et vecteur propre mais qui ne connaissent pas la notion de déterminant d'ordre 3.

Elle est composée de quatre exercices de recherche des valeurs propres et vecteurs propres d'une application linéaire de R² dans R² (pour les deux premiers) et d'une application linéaire de R³ dans R³ (pour les deux derniers)

[**_META#DESCRIPTION]

[*META#LANGUE_CONTENU] Français (fr)

[*META#STRUCTURE] Arborescence
[*META#AGREGATION] Ressource pédagogique (3)

[*META#VERSION] B3.01 (2004)
[*META#ETAT] Projet

[**META#AUTEUR]

Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique (GUIP) en Mathématiques,
UFR de Mathématiques, Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#AUTEUR]

[**META#EDITEUR]

AMIE, Appui aux Méthodes Innovantes d'Enseignement,
Université Bordeaux 1, France,
2006

[**_META#EDITEUR]

[**META#REALISATEUR]

Atelier de Réalisation AMIE (ARéa21),
Université Bordeaux 1, France,
04-2006

[**_META#REALISATEUR]

[*META#FORMAT] text/html
[*META#FORMAT] image/gif

[*META#TAILLE] 000 Ko
[*META#NAVIGATEURS] Tous (version 3 minimum, version 4+ conseillée)

[**META#NOTE_TECHNIQUE]

Affichage minimal conseillé : 800x600 en milliers de couleurs

[**_META#NOTE_TECHNIQUE]

[*META#ACTIVITE] S'exercer

[*META#DUREE] 80 minutes

[**META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[**_META#NOTE_PEDAGOGIQUE]

[*META#CIBLE] Apprenant
[*META#CONTEXTE] Premier cycle universitaire
[*META#AGE] 18+
[*META#LANGUE_CIBLE] Français (fr)
[*META#INTERACTIVITE] Mixte
[*META#NIVEAU_INTERACTIVITE] Fort (3)
[*META#DENSITE_SEMANTIQUE] Faible (1)
[*META#DIFFICULTE] Moyenne (2)

[*META#COUT] Non
[*META#DROITS] Oui

[**META#DESCRIPTION_DROITS]

Copyright © 2006 AMIE, Université Bordeaux 1.
Cette ressource a été écrite et réalisée par le Groupe Universitaire d'Innovation Pédagogique en Mathématiques de l'Université Bordeaux 1.

[**_META#DESCRIPTION_DROITS]

[*META#PREREQUIS] La définition de valeur propre et vecteur propre.

[*META#PREREQUIS] Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2.

[*META#PREREQUIS] La résolution d'un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.

[*META#OBJECTIFS] Déterminer les valeurs et vecteurs propres d'une application linéaire de R² dans R² ou de R³ dans R³.

[*META#TYPE_CLASSIFICATION] Discipline
[*META#SOURCE_CLASSIFICATION] Classification Décimale Universelle (C.D.U.)

[**META#CLASSIFICATION]

5 - Mathématiques et sciences naturelles
51 - Mathématiques
51.57 - Mathématiques pour la biologie

[**_META#CLASSIFICATION]

[**_META]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE

[*ELEMENT#TITRE] Matrice diagonalisable d'ordre 2

[*ELEMENT#DUREE] 15

[**ELEMENT#ENONCE]

Soit f l'application linéaire de R² dans R² dont la matrice dans la base canonique de R² est

1-Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.

2-Trouver une base de R² formée de vecteurs propres de f et écrire la matrice de f dans cette base.

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE1]

Le réel est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que . Le vecteur est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .

Soit A la matrice de f dans une base B de R² et . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle ou admet d'autres solutions que la solution nulle.

[**_ELEMENT#AIDE1]

[**ELEMENT#AIDE2]

Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle, donc si et seulement si .

Pour chercher les valeurs propres de f , on calcule et on cherche les valeurs de pour lesquelles .

Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre on résout le système .

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#SOLUTION]

Le réel est une valeur propre de f si et seulement si .

L'application f a deux valeurs propres et .

Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de R² . On pose

. est la droite vectorielle de base .

On détermine de même le sous-espace propre associé à la valeur propre .

Soit un vecteur de R² :

. Donc est la droite vectorielle de base .

Les vecteurs et sont des vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de R².

Soit . Comme et , la matrice D de f dans la base est : , la matrice de passage de la base B à la base est et . L'application f ( ou la matrice A ) est diagonalisable.

[**_ELEMENT#SOLUTION]

[**_ELEMENT]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE

[*ELEMENT#TITRE] Matrice non diagonalisable d'ordre 2

[*ELEMENT#DUREE] 15

[**ELEMENT#ENONCE]

Soit f l'application linéaire de R² dans R² dont la matrice dans la base canonique de R² est

1-Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.

2-Peut-on trouver une base de R² formée de vecteurs propres de f ?

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE2]

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#SOLUTION]

Le réel est une valeur propre de f si et seulement si .

L'application f a une seule valeur propre , d'ordre de multiplicité 2.

Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de R² . On pose

. est la droite vectorielle de base . Tous les vecteurs propres de f appartiennent à cette droite vectorielle. On ne peut donc pas trouver deux vecteurs propres linéairement indépendants. On ne peut donc pas trouver une base de R² formée de vecteurs propres de f . L'application f ( ou la matrice M ) n'est pas diagonalisable.

[**_ELEMENT#SOLUTION]

[**_ELEMENT]

[**ELEMENT]

[*ELEMENT#TYPE] EXGUIDE

[*ELEMENT#TITRE] Matrice d'ordre 3 avec 3 valeurs propres

[*ELEMENT#DUREE] 25

[**ELEMENT#ENONCE]

Soit f l'application linéaire de R³ dans R³ dont la matrice dans la base canonique de R³ est

1-Déterminer les valeurs propres de f.

2-Déterminer les sous-espaces propres de f.

3- Trouver une base de R³ formée de vecteurs propres de f et écrire la matrice de f dans cette base.

[**_ELEMENT#ENONCE]

[**ELEMENT#AIDE1]

Le réel est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que . Le vecteur est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre .

Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle ou admet d'autres solutions que la solution nulle.

[**_ELEMENT#AIDE1]

[**ELEMENT#AIDE2]

1-Soit . Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.

Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.

On utilise la propriété suivante : le système (S) a une solution unique si et seulement si il est équivalent à un système triangulaire dont les coefficients de la diagonale sont non nuls.

2- Pour chercher les vecteurs propres associés à la valeur propre on résout le système en utilisant les transformations déjà faites lors de la recherche des valeurs propres.

[**_ELEMENT#AIDE2]

[**ELEMENT#SOLUTION]

Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.

Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.

On échange et pour avoir un pivot non nul :

Si la deuxième ligne est nulle et si la troisième ligne est nulle. Donc si ou le système admet d'autres solutions que la solution nulle. Donc et sont des valeurs propres de A.

Si et , on peut faire les opérations

Le système obtenu est un système triangulaire. Il a une solution unique si et seulement si les coefficients de la diagonale sont non nuls, c'est-à-dire si et seulement si . D'où est une valeur propre de f.

L'application f a trois valeurs propres distinctes , et .

2-Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre , un vecteur de R³ et .

On utilise les résultats précédents pour résoudre le système (S), d'écriture matricielle , pour les trois valeurs propres obtenues.

Si le système (S) obtenu est équivalent au système échelonné :

. est la droite vectorielle de base .

Si ,

. est la droite vectorielle de base .

Les vecteurs , et sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de R³.