Le réel est une valeur propre de f si et seulement si le système (S) d'écriture  matricielle admet d'autres solutions que la solution nulle.

Par la méthode du pivot de Gauss, on transforme le système (S) en un système échelonné qui lui est équivalent et on détermine les valeurs de pour lesquelles le système admet d'autres solutions que la solution nulle.

On échange et pour avoir un pivot égal à 1 :

Si la deuxième et la troisième ligne sont nulles. Donc est une valeur propre de A.

Si ,  .

Le système obtenu est un système triangulaire. Il a une solution unique si et seulement si les coefficients de la diagonale sont non nuls, c'est-à-dire si et seulement si  . D'où est une valeur propre de f.

L'application linéaire  f  a deux valeurs propres distinctes  et .

2-Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre , un vecteur de R³  et .

On utilise les résultats précédents pour résoudre le système (S), d'écriture matricielle , pour les deux valeurs propres obtenues. 

Si   le système (S) obtenu est équivalent à l'équation 

est un plan vectoriel de R³. Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de , ils forment donc une base de .

Si , le système (S) obtenu est équivalent au système échelonné

. est la droite vectorielle de base .

est une base de , est une base de donc la famille est libre et les vecteurs , et forment une base de R³.

Soit . Comme ,, la matrice D  de f dans la base est :  .

La matrice de passage de la base B à la base est et .