ETAPE 1

Pour connaître un terme de la suite on a besoin de connaître les deux termes précédents.

Pour , appelons donc la propriété constituée des deux égalités suivantes :  ; .

Montrons par récurrence que est vraie pour tout entier n, .

ETAPE 2

  et . Donc est vraie.

ETAPE 3

Supposons vraie, n étant un entier supérieur ou égal à 1.

On a donc par hypothèse de récurrence : et .

Or, par définition de la suite .

L'hypothèse de récurrence permet donc d'écrire :

Si est vraie on a donc les 2 égalités et .

Donc, pour tout n, , si est vraie alors est vraie.

CONCLUSION

La propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

On a donc pour tout entier n, .