n
0
1
2
3
4
5
1
3
9
27
81
243
1
7
24
53
96
157
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
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1 |
7 |
24 |
53 |
96 |
157 |
On constate, d'après le tableau, que 5 est le plus petit entier n pour lequel l'inégalité 
est vraie.
On essaie de démontrer par récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n, 
.
ETAPE 1 |
Appelons 
l'inégalité .
ETAPE 2 |
est vraie.
ETAPE 3 |
Supposons que soit vraie, pour un entier n supérieur ou égal à 5.
L'hypothèse de récurrence est donc .
Nous cherchons à montrer alors que 
est vraie, c'est-à-dire que l'inégalité 
est vraie.
On remarque que 
.
D'après l'hypothèse de récurrence, on a 
.
Pour obtenir (**), il suffit de montrer que 
.
donc 
et 
.
Pour , on a donc .
Donc, pour tout n, 
, si 
est vraie alors 
est vraie.
CONCLUSION |
Pour tout n, , est vraie.
Donc pour tout n, , .