On trouve , , , .

On peut remarquer que  :

 , , , .

D'où l'idée de conjecturer que, pour tout entier naturel n, , .

Pour établir la véracité de cette conjecture, on utilise un raisonnement par récurrence.

ETAPE 1

Pour tout naturel n non nul, notons l'égalité .

ETAPE 2

  est vraie car .

ETAPE 3

Supposons que, pour un entier naturel quelconque n, , soit vraie et montrons qu'alors est vraie.

Supposons donc que et montrons alors que .

Par définition, .

Alors, d'après l'hypothèse de récurrence,

d'où

Donc, pour tout n, , si est vraie alors est vraie.

CONCLUSION

Pour tout entier naturel n, , est vraie, c'est-à-dire, pour tout entier naturel n, , .