, 
.
Cette ressource est composée de quatre exercices.
Prérequis indispensables :
Connaître le principe du raisonnement par récurrence.
Objectifs :
Mettre en application le principe de raisonnement par récurrence.
Temps de travail prévu : 50 minutes
Sommaire :
Enoncé
Montrer que quelque soit l'entier naturel n, , .
Durée : 10 minutes
Aide de lecture
p désigne un entier supérieur ou égal à 1, 
.
Exemple : 
.
est la somme de tous les termes de la forme 
, p prenant les valeurs de 1 à n.
Par exemple : 
, 
.
Il s'agit ici de montrer que pour tout entier n, , .
Aide de méthodologie
On veut montrer que quelque soit l'entier naturel n, , on a .
On ne voit pas de calcul simple permettant d'arriver à ce résultat. On peut donc essayer une démonstration par récurrence. Cette démonstration comporte les étapes suivantes :
ETAPE 1 : Noter 
l'égalité .
ETAPE 2 : Vérifier que 
est vraie.
ETAPE 3 : Supposer que est vraie, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Ecrire que est vraie. C'est l'hypothèse de récurrence.
Montrer alors que 
est vraie.
Pour cela, exprimer 
en fonction de 
Solution
ETAPE 1 |
Nous voulons montrer que quelque soit l'entier naturel n, , on a .
Notons l'égalité , et montrons par récurrence que est vraie pour tout entier n, .
ETAPE 2 |
est-elle vraie ?
et 
.
Donc 
est vraie.
ETAPE 3 |
On suppose que est vraie, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On suppose donc que .
C'est l'hypothèse de récurrence.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence :
Donc, pour tout n, 
, si 
est vraie alors 
est vraie.
CONCLUSION |
On a démontré par récurrence que est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
On a donc démontré que : 
, .
Enoncé
Montrer que l'inégalité 
est vraie à partir d'un entier k à déterminer.
Durée : 15 minutes
Aide de lecture
L'inégalité 
est une inégalité stricte, dépendant de l'entier naturel n.
Par exemple,
Si 
, 
et 
, l'inégalité (*) est fausse.
Si 
, 
et 
, l'inégalité (*) est encore fausse.
Le texte nous demande d'une part de montrer que l'inégalité (*) est vraie à partir d'un certain entier k, d'autre part de déterminer cet entier k.
Aide de méthodologie
On calcule 
et 
pour 
jusqu'à ce que l'on trouve un entier k tel que 
.
Puis on essaie de montrer que l'inégalité est vraie pour tout entier n, 
.
On ne voit pas de calcul simple permettant de comparer et .
On procède donc par récurrence en appelant l'inégalité .
Aide supplémentaire
Pour montrer que si est vraie, alors est vraie, remarquer que 
, puis utiliser l'hypothèse de récurrence. On sera alors amené à étudier le signe d'une expression du second degré en n.
Solution
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
|
1 |
7 |
24 |
53 |
96 |
157 |
On constate, d'après le tableau, que 5 est le plus petit entier n pour lequel l'inégalité est vraie.
On essaie de démontrer par récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n, 
.
ETAPE 1 |
Appelons l'inégalité .
ETAPE 2 |
est vraie.
ETAPE 3 |
Supposons que soit vraie, pour un entier n supérieur ou égal à 5.
L'hypothèse de récurrence est donc .
Nous cherchons à montrer alors que est vraie, c'est-à-dire que l'inégalité 
est vraie.
On remarque que .
D'après l'hypothèse de récurrence, on a 
.
Pour obtenir (**), il suffit de montrer que 
.
donc 
et 
.
Pour , on a donc .
Donc, pour tout n, 
, si est vraie alors est vraie.
CONCLUSION |
Pour tout n, , est vraie.
Donc pour tout n, , .
Enoncé
Soit n un entier naturel non nul. Déterminer explicitement, à l'aide de n, la somme 
, définie par : 
.
Durée : 15 minutes
Aide de lecture
est la somme de tous les termes de la forme 
, k prenant les valeurs entières de 1 à n. Par exemple :
Le but de l'exercice est d'exprimer en fonction de n.
Aide de méthodologie
On calcule pour 
jusqu'à ce que l'on trouve une formule vérifiée par ces premières sommes c'est-à-dire on cherche une expression de en fonction de n qui soit vraie pour les premiers entiers.
Une fois la formule découverte, il restera à montrer que cette formule est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1. On pourra utiliser pour cela un raisonnement par récurrence.
Aide supplémentaire
On trouve 
, 
, 
, 
.
On peut remarquer que :
, 
, 
, 
.
D'où l'idée de conjecturer que, pour tout entier naturel n, , 
.
Pour établir la véracité de cette conjecture, utiliser un raisonnement par récurrence.
Solution
On trouve , , , .
On peut remarquer que :
, , , .
D'où l'idée de conjecturer que, pour tout entier naturel n, , .
Pour établir la véracité de cette conjecture, on utilise un raisonnement par récurrence.
ETAPE 1 |
Pour tout naturel n non nul, notons l'égalité .
ETAPE 2 |
est vraie car 
.
ETAPE 3 |
Supposons que, pour un entier naturel quelconque n, , soit vraie et montrons qu'alors est vraie.
Supposons donc que et montrons alors que 
.
Par définition, 
.
Alors, d'après l'hypothèse de récurrence,
d'où
Donc, pour tout n, , si est vraie alors est vraie.
CONCLUSION |
Pour tout entier naturel n, , est vraie, c'est-à-dire, pour tout entier naturel n, , .
Enoncé
Soit la suite 
définie par les conditions : 
, 
et, quel que soit l'entier n, 
, 
.
Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 
.
Durée : 10 minutes
Aide de lecture
Connaissant et , on peut calculer 
: 
.
Connaissant 
et on peut calculer 
: 
.
Connaissant 
et 
on peut calculer 
.
On veut montrer que pour tout entier naturel n, on a .
Aide de méthodologie
Connaissant et on peut calculer .
On veut montrer que pour tout entier naturel n, on a . Pour connaître un terme de la suite on a besoin de connaître les deux termes précédents. On peut prévoir que, dans la démonstration par récurrence, il sera nécessaire d'utiliser une hypothèse de récurrence portant sur deux termes consécutifs de la suite.
Pour , appelons donc la propriété constituée des deux égalités suivantes 
; .
La propriété est ici exprimée de façon légèrement différente de la propriété que l'on veut démontrer mais sous cette forme on pourra montrer que si est vraie alors est vraie.
Solution
ETAPE 1 |
Pour connaître un terme de la suite on a besoin de connaître les deux termes précédents.
Pour , appelons donc la propriété constituée des deux égalités suivantes : ; .
Montrons par récurrence que est vraie pour tout entier n, .
ETAPE 2 |
et 
. Donc est vraie.
ETAPE 3 |
Supposons vraie, n étant un entier supérieur ou égal à 1.
On a donc par hypothèse de récurrence : et .
Or, par définition de la suite 
.
L'hypothèse de récurrence permet donc d'écrire :
Si est vraie on a donc les 2 égalités et 
.
Donc, pour tout n, , si est vraie alors est vraie.
CONCLUSION |
La propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
On a donc pour tout entier n, .