Résolution guidée

Il s'agit d'illustrer l'emploi de quelques notions et résultats d'arithmétique en cryptographie, science qui s'occupe de chiffrer et déchiffrer des messages à l'aide d'une clé.

Nous allons travailler sur deux méthodes à clés cachées, c'est-à-dire que les clés ne sont connues que des personnes qui codent et décodent le message.

Partie A : le chiffrement de César

On assimile les lettres A, B, C, ..., Z aux nombres 0, 1, 2, ..., 25 et on code ces nombres entiers x par , f est appelée la fonction de codage, en définissant comme le reste de la division euclidienne de par 26, où k est un entier donné. k est la clé du codage.

Prenons par exemple .

Question A.1

Coder le mot SECRET.

Question A.2

Décoder le mot TJRAXST.

 

Partie B : un exemple de codage par transformation affine

Avec les notations de la partie A, on utilise la fonction de codage définie par : , avec . Les clés de ce codage sont 17 et 22.

Question B.1

  1. Coder le mot HUIT.

  1. Montrer que si alors . En déduire que deux lettres distinctes ne peuvent pas être codées par la même lettre.

Question B.2

Pour pouvoir décoder un message, nous allons définir une fonction de décodage.

  1. Déterminer un entier u tel que .

  1. En déduire l'expression d'une fonction de décodage g telle que : si alors .

  1. Déchiffrer le mot NMFAYH.