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Rappel de l'énoncé | |
On sait que 
est divisible par 3 donc 
est divisible par 9. Or d'après la question précédente 
est divisible par , donc est divisible par 9. De même 
divise 
et est divisible par 27, donc 27 divise . On voit apparaître un raisonnement par récurrence : pour p entier supérieur ou égal à 1, 
est divisible par 
.
Initialisation : la propriété est vraie pour 
car est divisible par 3.
Hérédité : supposons que la propriété est vraie à un certain rang p et montrons qu'alors elle est vraie au rang 
. Dans les exemples ci-dessus nous avons utilisé le résultat prouvé à la question 3/. Il faut essayer d'écrire 
sous la forme 
. On a 
avec 
. D'où est divisible par 
(résultat question 3/). Or d'après l'hypothèse est divisible par puisque la propriété est supposée vraie au rang p. On en déduit que est divisible par 
c'est-à-dire par 
. La propriété est vraie au rang .
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est varie pour tout p entier supérieur ou égal à 1.
Il existe donc une infinité de valeurs de n pour lesquelles 
est divisible par n, il suffit de prendre avec 
.
Attention : nous n'avons pas prouvé que ce sont les seules valeurs de n pour lesquelles est divisible par n.