Enoncé de l'exercice

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère le plan d'équation .

Partie A

Question A.1

Montrer que les plans et sont sécants suivant une droite .

Question A.2

1. Déterminer un couple d'entiers relatifs solution de l'équation .

2. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation .

Question A.3

Prouver que la droite ne contient qu'un seul point dont les coordonnées sont des entiers naturels. Préciser les coordonnées de ce point.

Question A.4

Qu'en est-il pour la droite intersection des plans et  ?

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer tous les points M de dont les coordonnées sont des entiers naturels.

On suppose que de tels points existent.

Question B.1

Démontrer que y s'écrit avec p entier naturel.

Question B.2

Soient r le reste de la division euclidienne de par 3 et q le quotient.

1. Montrer que .

2. En déduire que ou .

Question B.3

Conclure.