Résolution guidée

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. est le nombre entier dont l'écriture décimale est constituée de n chiffres 1 : .

On a . On remarque que c'est-à-dire que est divisible par 3.

On s'intéresse au problème suivant : est-ce la seule valeur de n pour laquelle est divisible par n ?

Question 1

Calculer . En déduire que est divisible par .

Question 2

Démontrer que est divisible par 3.

Question 3

Exprimer en fonction de puis démontrer que est divisible par .

Question 4

Déduire des questions précédentes qu'il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles est divisible par n.