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Rappel de l'énoncé | |
Nous allons démontrer ce résultat par une méthode classique.
Pour démontrer que 
nous allons établir les deux inégalités 
et 
.
D'après la question précédente d divise A et 17, donc d divise leur PGCD d'. Comme d et d' sont des nombres positifs on a : .
Réciproquement d' est le PGCD de A et 17, donc d' est un diviseur positif de 17 d'où il est égal à 1 ou à 17.
On a 
. En réutilisant la propriété (1) : d' divise A et 17 donc d' divise 
. Or d' est premier avec 2 (
ou 
), donc d'après le théorème de Gauss d' divise B. d' divise A et B donc d' divise d et .
Finalement : et donc .