Enoncé de l'exercice

Partie A : les nombres parfaits

On appelle nombre parfait tout entier naturel n dont la somme des diviseurs positifs est égale à 2n.

6 est un nombre parfait car .

Question A.1

28 est-il un nombre parfait ?

Question A.2

Euclide a énoncé la règle suivante : « Si un nombre a s'écrit et si le facteur est premier, alors a est un nombre parfait ». On se propose de démontrer ce théorème.

Posons avec premier.

  1. Quelle est la décomposition de a en produit de facteurs premiers ?

  2. En déduire la liste des diviseurs positifs de a. Combien y en a t-il ?

  3. Démontrer que a est parfait.

  

Il existe une réciproque de ce théorème due à Léonard Euler (1707-1783) : « Tout nombre parfait pair s'écrit avec premier ». La démonstration est trop compliquée pour être présentée ici. Le problème de savoir s'il existe des nombres parfaits impairs n'est toujours pas résolu.

 

Partie B : les nombres

Nous avons prouvé dans la partie A que les nombres où est premier, sont parfaits. Est-il simple de trouver ces nombres premiers ?

Le mathématicien français Marin Mersenne (1588-1648) affirme que les nombres sont premiers pour certaines valeurs de p : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Il fait une erreur pour 257 et oublie des valeurs. A l'heure actuelle il est prouvé que est premier pour 25 valeurs de p inférieures ou égales à 21707.

Nous allons prouver que : si est premier alors p est premier.

Question B.1

Montrer que pour tout x réel et p entier naturel non nul : .

Question B.2

Démontrer que où a et b sont des entiers naturels non nuls est divisible par .

Question B.3

Conclure.