est le nombre entier dont l'écriture décimale est constituée de n chiffres 1 : 
.n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. est le nombre entier dont l'écriture décimale est constituée de n chiffres 1 : .
On a 
. On remarque que 
c'est-à-dire que 
est divisible par 3.
On s'intéresse au problème suivant : est-ce la seule valeur de n pour laquelle est divisible par n ?
Question 1
Calculer 
. En déduire que 
est divisible par 
.
Question 2
Démontrer que 
est divisible par 3.
Question 3
Exprimer 
en fonction de 
puis démontrer que 
est divisible par 
.
Question 4
Déduire des questions précédentes qu'il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles est divisible par n.