Solution de la question B.1b

Rappel de l'énoncé

Si alors .

Si alors d'après la propriété 1 sur les congruences avec .

Si alors .

Si alors est divisible par 26.

Si alors est divisible par 26.

26 et 17 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 26 divise . Or et donc . On en déduit que . Le seul multiple de 26 compris entre et 25 est 0. On a donc que si alors , c'est-à-dire .

Nous devons ensuite prouver que deux lettres distinctes assimilées aux nombres x et x' ne peuvent pas être codées par la même lettre, c'est-à-dire : si alors . Cette propriété est la contraposée de la proposition : si alors démontrée ci-dessus. Nous savons que si une proposition est vraie, sa contraposée est vraie aussi, donc ici deux lettres distinctes ne peuvent pas être codées par la même lettre. Le codage est donc un bon codage.

Remarque : nous avons utilisé que les nombres 17 et 26 sont premiers entre eux. Cette condition est importante. Prenons la fonction de codage h définie par , avec . 4 et 26 ne sont pas premiers entre eux. Un calcul rapide montre que , c'est-à-dire que H et U se codent toutes les deux en Y. Cette fonction de codage ne peut donc pas être utilisée.