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Rappel de l'énoncé | |
Récapitulons : nous cherchons les entiers naturels x, y et z, s'ils existent, qui vérifient l'équation 
.
Nous avons vu qu'alors :
, avec p entier naturel et avec 
ou 
.
Etudions le cas où .
On a : 
, et comme les entiers naturels x, y et z sont positifs, 
.
x |
p |
y |
z |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
57 |
6 |
1 |
3 |
0 |
57 |
Etudions le cas où .
On a : 
, et comme les entiers naturels x, y et z sont positifs, 
.
x |
p |
y |
z |
|
3 |
0 |
1 |
4 |
57 |
2 |
1 |
3 |
3 |
57 |
1 |
2 |
5 |
2 |
57 |
0 |
3 |
7 |
1 |
57 |
Nous avons donc trouvé toutes les conditions nécessaires à vérifier par les entiers naturels x, y et z pour qu'ils puissent être solutions de l'équation .
La dernière colonne des tableaux nous prouve que ces conditions sont suffisantes puisque le résultat du calcul 
est 57.
Les points de 
dont les coordonnées sont des entiers naturels sont donc :
, 
, 
, 
, 
, 
.