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Rappel de l'énoncé | |
d est égal à 17 si et seulement si d' est égal à 17 c'est-à-dire si et seulement si A est divisible par 17 soit si et seulement si il existe un entier n tel que : 
.
.
On reconnaît ici une identité de Bézout et comme 2 et 17 sont premiers entre eux, cette équation a des solutions entières.
Résolution de cette équation :
Une solution particulière est 
et 
.
On a 
Donc par soustraction membre à membre : 
soit 
.
17 divise 
et 17 est premier avec 2 donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise 
. Il existe q entier relatif tel que 
. Il est donc nécessaire que 
.
Cette condition est-elle suffisante ? Reportons dans l'équation initiale :
avec q entier relatif.
Les solutions entières de l'équation 
sont donc les couples 
avec q entier relatif.
Finalement : 
si et seulement si avec q entier relatif,
ou : si et seulement si 
.
Vérification :
Si alors 
et 
.
A et B sont tous les deux divisibles par 17, et comme 
et 
sont premiers entre eux (en effet 
et on applique la propriété (1)), le PGCD de A et B est bien 17.