Question B.1

Nous avons prouvé dans la partie A que les nombres où est premier, sont parfaits. Est-il simple de trouver ces nombres premiers ?

Le mathématicien français Marin Mersenne (1588-1648) affirme que les nombres sont premiers pour certaines valeurs de p : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Il fait une erreur pour 257 et oublie des valeurs. A l'heure actuelle il est prouvé que est premier pour 25 valeurs de p inférieures ou égales à 21707.

Nous allons prouver que : si est premier alors p est premier.

Montrer que pour tout x réel et p entier naturel non nul : .