1) a) Puisque l'on a , x vérifie si et seulement si et . Or on sait que si et seulement si ou , .
Seuls, les sont tels que .
 Par conséquent, l'ensemble des x réels satisfaisant à l'équation est l'ensemble .

1) b) est l'ensemble des tels que , c'est-à-dire tels que et . Comme on a, pour tout , , il n'existe aucun vérifiant ces conditions.
Par conséquent
                                               .
est l'ensemble des tels que , donc, d'après la question 1) a) on a :
                                              
1) c) est l'ensemble des tels que . Cet ensemble est non vide si et seulement si il existe un tel que et , donc une condition nécessaire est d'avoir .
Cette condition est suffisante : en effet, soient a et b vérifiant , et considérons le nombre complexe . Ce nombre est un nombre complexe de module 1, et d'argument , donc z s'écrit sous forme trigonométrique . On en déduit et . Par conséquent :
         l'ensemble est non vide si et seulement si .
1) d) Soient a et b vérifiant , et soit appartenant à . Alors le réel appartient à si et seulement si et , donc si et seulement si , . Par conséquent :
                                      .
1) e) Calcul de :
Les éléments de sont les tels que , donc tels que et ; par conséquent un tel x appartient à un intervalle de la forme où k est un entier positif ou négatif. Donc est inclus dans la réunion de tous ces intervalles :

                                     .
Il est clair que si x appartient à , alors et appartiennent à , donc
                                     

Remarque : les couples appartenant à mais tels que , n'ont pas d'antécédent dans R, comme cela a été vu dans le 1) c) pour le couple .

2) a) Puisque l'on a et , on a donc 

2) b) Soit , on a , avec et positifs et ,
Dans un plan muni d'un repère orthonormé , le point de coordonnées , , est tel que , et , donc ce point se trouve sur le quart de cercle compris entre les points de coordonnées et . Et pour tout point N du quart de cercle compris entre les points de coordonnées et , il existe un tel que les coordonnées de ce point N soient .
Par conséquent, dans un plan muni d'un repère orthonormé , l'ensemble des points de coordonnées , avec , est l'arc de cercle de centre 0 et de rayon 1, situé dans le quart de plan , et compris entre les points de coordonnées et .

c) On peut remarquer que l'on a et par un même raisonnement que précédemment, on en déduit que l'ensemble des points de coordonnées , avec , est le cercle de centre 0 et de rayon 1.