1) Recherche de 
, 
.
Si le couple 
appartient à , on a :
et 
, donc 
, d'où : 
.
Pour montrer que 
, il suffit de prouver l'inclusion 
, donc que tout élément de 
a au moins un antécédent dans A :
- lorsque z vérifie 
, z admet de façon évidente 
comme antécédent ;
- lorsque z vérifie 
, on peut remarquer que 
donc 
, avec 
car 
;
dans les deux cas on a 
; d'où .
Par conséquent .
Illustration graphique
a) On commence par donner une représentation graphique de la surface d'équation 
, pour x compris entre -8 et 8 et y compris entre -6 et 6.
|
|
On peut constater que cette surface est formée de 4 quarts de plan, correspondant aux différents signes de x et y ; ils apparaissent dans des couleurs différentes.
Dans le dessin de gauche, les axes sont placés dans la position usuelle, dans celui de droite, la surface est comprise dans un cube dont les arêtes portent les graduations (cette représentation est plus adaptée aux illustrations suivantes).
b) Pour visualiser , on trace la surface d'équation , pour x compris entre 1 et 4 et y compris entre -3 et 2.
On peut remarquer que les valeurs prises par z (arête verticale du cube) sont entre 1 et 7. On a .
Pour vérifier que toutes les valeurs de z comprises entre 1 et 7 ont des antécédents par f, on trace des plans d'équations 
.
Sont représentés en rouge les plans d'équation 
(fig1), 
(fig2) et 
(fig3).
fig1 |
fig2 |
fig3 |
Dans les figures 1 et 3, l'intersection est réduite à un point.
Dans la figure 2, l'intersection détermine deux segments (l'intersection entre la portion de plan rose clair et le plan rouge, et l'intersection entre la portion de plan rose foncé et le plan rouge.
On vérifie que ces plans coupent la surface d'équation , pour tous x compris entre 1 et 4 et y compris entre -3 et 2, d'où .
2) - Recherche de 
.
Les éléments de sont les couples 
tels que 
.
Or 
est toujours positif, donc il n'existe pas de couple 
dont l'image par f est -1 :
.
- Recherche de 
.
Les éléments de sont les couples tels que 
.
Comme , lorsque x ou y est non nul, on a 
, donc on a : 
.
D'où 
On peut remarquer que est un ensemble n'ayant qu'un seul élément.
3) Recherche de 
.
Les éléments de sont les couples tels que 
, donc tels que 
.
Pour résoudre cette équation, on sépare les cas selon les signes de x et de y, pour avoir des équations sans valeur absolue.
On obtient les équivalences suivantes :
a) 
b) 
c) 
d) 
En considérant les 4 parties
; 
; 
; 
on obtient : 
.
Dans un plan muni d'un repère orthonormé 
, 
est l'ensemble des coordonnées des points du segment d'extrémités 
et 
, 
est l'ensemble des coordonnées des points du segment d'extrémités et 
, 
est l'ensemble des coordonnées des points du segment d'extrémités et 
et 
est l'ensemble des coordonnées des points du segment d'extrémités et .
Donc l'ensemble des points 
de coordonnées 
est représenté par le contour du carré ayant pour sommets les points de coordonnées 
, 
, 
et 
.
Illustration graphique
b) Pour trouver les antécédents de 1, on coupe cette surface par le plan d'équation (plan jaune)
|
|
On vérifie sur ces dessins que l'intersection de la surface par le plan donne 4 segments qui forment un quadrilatère,
dont l'équation est 
.
La projection de ce quadrilatère, suivant l'axe des z, sur le plan contenant les axes des x et des y, donne le quadrilatère d'équation : , représenté ci-dessous. Ce quadrilatère est un carré lorsque le repère est orthonormé.
|
|
et 
; d'où l'on trace la surface d'équation 
(vue de dessus)
