1) Recherche de 
.
La fonction 
est strictement croissante sur l'intervalle 
; donc si x appartient à l'intervalle , 
appartient à l'intervalle 
. Or tout nombre réel appartenant à 
est le cosinus d'un réel, et pour tout y appartenant à 
, il existe un nombre réel x appartenant à l'intervalle tel que 
.
Par conséquent : 
.
Illustration graphique
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image par f de l'intervalle .
La portion de courbe en rouge représente le graphe de la fonction 
pour x appartenant à l'intervalle [-π/2 ; π/2].
La portion de courbe en rouge surlignée de vert représente le graphe de la fonction pour x appartenant à l'intervalle [-π/2 ; -π/4].
En partant du point 
situé sur l'axe des abscisses entre –π/2 et –π/4, on considère le point situé sur le graphe et ayant pour abscisse , l'ordonnée de ce point est donc 
.
Ce dessin montre que les images par f des éléments x de l'intervalle [-π/2 ; -π/4] (en vert sur l'axe des abscisses) décrivent l'intervalle (en vert sur l'axe des ordonnées).
Recherche de 
et de 
.
On trouve de même, comme précédemment, et puisque la fonction est décroissante sur l'intervalle 
, 
donc 
.
L'intervalle 
est la réunion des deux intervalles 
et 
, or par des raisonnements identiques à ceux qui précèdent, on a 
et 
; or, on sait que l'image d'une réunion de parties est égale à la réunion des images de ces parties, donc
et comme on a 
, on obtient :
.
2) Recherche de 
.
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : 
et 
. On obtient les deux nombres : 
et 
donc 
.
Recherche de 
.
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : et 
.
Or d'après les propriétés de la fonction cosinus, on a les équivalences suivantes :
.
Par conséquent, on obtient :
.
Illustration graphique.
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image réciproque par f de l'intervalle 
.
La portion de courbe en rouge surlignée de vert représente le graphe de la fonction quand y appartient à l'intervalle [1/2;1].
A un y appartenant à l'intervalle [1/2;1[, correspondent deux points du graphe ayant cette ordonnée. Ce dessin montre que toute valeur de y, vérifiant les inégalités 
,(en vert sur l'axe des ordonnées) admet deux antécédents : l'un entre -π/3 et 0 et l'autre entre 0 et π/3, (en vert sur l'axe des abscisses).
Recherche de 
.
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : et 
.
Or, pour tout , on a 
. On a donc :
, 
et 
;
comme l'image réciproque d'une union de parties est égale à l'union des images réciproques de ces parties, on en déduit l'égalité :
.
Illustration graphique.
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image réciproque par f de l'intervalle 
.
Ce dessin montre que toute valeur de y, vérifiant les inégalités 
, (en vert sur l'axe des ordonnées), admet deux antécédents par f : l'un entre -π/2 et 0 et l'autre entre 0 et π/2, (en vert sur l'axe des abscisses). Par contre les valeurs de y, vérifiant les inégalités 
,(en vert sur l'axe des ordonnées), n'admettent aucun antécédent par f .