1) Calculer les images directes suivantes :
; 
; 
;2) Calculer les images réciproques suivantes :
Cette ressource propose trois exercices techniques sur la recherche d'images directes ou réciproques de parties d'un ensemble par une application. Quelques graphes, faits avec le logiciel Maple, sont donnés pour illustrer les réponses.
Prérequis :
Indispensable :
Temps de travail prévu : 1 heure
Enoncé
On considère l'application
1) Calculer les images directes suivantes :
; ; ;
2) Calculer les images réciproques suivantes :
; 
; 
.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
L'espace de départ de la fonction n'est pas R tout entier.
Si f est une application de E dans F, et A une partie de E, 
est l'ensemble des éléments de F, images par f des éléments de A : 
.
Si P est une partie de F, 
est l'ensemble des éléments de E dont les images sont dans P : 
.
Aide de méthodologie
2) Si P est une partie de R, chercher consiste à chercher tous les nombres réels x appartenant à 
tels que 
appartiennent à P.
Aide supplémentaire
1) Attention : pour , la fonction 
n'est pas monotone sur l'intervalle 
. Ecrire cet intervalle comme une réunion d'intervalles sur lesquels la fonction est monotone, et utiliser la propriété suivante : l'image directe d'une union de sous-ensembles est égale à l'union des images directes de ces sous-ensembles.
2) Bien traduire la propriété : 
. Voir la méthodologie.
Utiliser la propriété suivante : l'image réciproque d'une union de sous-ensembles est égale à l'union des images réciproques de ces sous-ensembles.
Solution
1) Recherche de .
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle 
; donc si x appartient à l'intervalle , appartient à l'intervalle 
. Or tout nombre réel appartenant à 
est le cosinus d'un réel, et pour tout y appartenant à 
, il existe un nombre réel x appartenant à l'intervalle tel que 
.
Par conséquent : 
.
Illustration graphique
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image par f de l'intervalle .
La portion de courbe en rouge représente le graphe de la fonction 
pour x appartenant à l'intervalle [-π/2 ; π/2].
La portion de courbe en rouge surligné de vert représente le graphe de la fonction pour x appartenant à l'intervalle [-π/2 ; -π/4].
En partant du point 
situé sur l'axe des abscisses entre –π/2 et –π/4, on considère le point situé sur le graphe et ayant pour abscisse , l'ordonnée de ce point est donc 
.
Ce dessin montre que les images par f des éléments x de l'intervalle [-π/2 ; -π/4] (en vert sur l'axe des abscisses) décrivent l'intervalle (en vert sur l'axe des ordonnées).
Recherche de et de .
On trouve de même, comme précédemment, et puisque la fonction est décroissante sur l'intervalle 
,: 
donc 
.
L'intervalle est la réunion des deux intervalles 
et 
, or par des raisonnements identiques à ceux qui précèdent, on a 
et 
; or, on sait que l'image d'une réunion de parties est égale à la réunion des images de ces parties, donc
et comme on a 
, on obtient :
.
2) Recherche de .
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : 
et 
. On obtient les deux nombres : 
et 
donc 
.
Recherche de .
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : et 
.
Or d'après les propriétés de la fonction cosinus, on a les équivalences suivantes :
.
Par conséquent, on obtient :
.
Illustration graphique.
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image réciproque par f de l'intervalle 
.
La portion de courbe en rouge surligné de vert représente le graphe de la fonction quand y appartient à l'intervalle [1/2;1].
A un y appartenant à l'intervalle [1/2;1[, correspondent deux points du graphe ayant cette ordonnée. Ce dessin montre que toute valeur de y, vérifiant les inégalités 
,(en vert sur l'axe des ordonnées) admet deux antécédents : l'un entre -π/3 et 0 et l'autre entre 0 et π/3, (en vert sur l'axe des abscisses).
Recherche de .
Le nombre réel x appartient à si et seulement si x vérifie les deux propriétés suivantes : et 
.
Or, pour tout , on a 
. On a donc :
, 
et 
;
comme l'image réciproque d'une union de parties est égale à l'union des images réciproques de ces parties, on en déduit l'égalité :
.
Illustration graphique.
En traçant le graphe de la fonction f, il est facile de visualiser l'image réciproque par f de l'intervalle 
.
Ce dessin montre que toute valeur de y, vérifiant les inégalités
, (en vert sur l'axe des ordonnées), admet deux antécédents par f : l'un entre -π/2 et 0 et l'autre entre 0 et π/2, (en vert sur l'axe des abscisses). Par contre les valeurs de y, vérifiant les inégalités 
,(en vert sur l'axe des ordonnées), n'admettent aucun antécédent par f .
Enoncé
On considère l'application
1) Soit 
. Calculer .
2) Calculer les images réciproques 
et .
3) Déterminer la partie 
.
(On pourra donner une interprétation géométrique de cette partie, en considérant dans un plan muni d'un repère orthonormé 
, l'ensemble des points 
de coordonnées 
)
Si vous savez utiliser une calculette graphique ou un logiciel de calculs qui donne des représentations graphiques en 3D, comme Maple ou autres, vous pouvez tracer la surface d'équation 
, et vérifier vos réponses.
Vous trouverez dans la solution une illustration graphique de certaines réponses.
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
Si f est une application de E dans F, et A une partie de E, est l'ensemble des éléments de F, images par f des éléments de A : .
Si P est une partie de F, est l'ensemble des éléments de E dont les images sont dans P : .
Dans cet exercice, les parties A sont des parties de 
, alors que les parties sont des parties de R ; de même les parties P sont des parties de R, alors que les parties sont des parties de .
Si a appartient à R, 
est l'image réciproque de la partie 
de R.
est donc l'ensemble des antécédents de a par f.
Aide de méthodologie
2) Si P est une partie de R, chercher consiste à chercher les couples 
tels que 
.
Aide supplémentaire
3) On est amené à chercher les couples tels que 
: considérer les cas x positif ou négatif, y positif ou négatif .
Solution
Enoncé
On considère l'application
1) a) Chercher l'ensemble des x réels satisfaisant à l'équation :
.
b) Déterminer 
et
c) Soit 
. Quelle relation doivent vérifier a et b pour que la partie 
soit non vide ?
d) Soient a et b vérifiant la relation trouvée en c), et soit un élément de .
Déterminer tous les éléments de en fonction de .
e) Calculer 
.
2) a) Calculer l'image directe 
.
b) Dans un plan muni d'un repère orthonormé , vérifier que l'ensemble des points de coordonnées 
, 
, est l'arc de cercle de centre 0 et de rayon 1, situé dans le quart de plan 
, et compris entre les points de coordonnées 
et 
.
c) Dans un plan muni d'un repère orthonormé , quel est l'ensemble des points de coordonnées appartenant à 
?
Durée : 20 minutes
Aide de lecture
Si f est une application de E dans F, et A une partie de E, est l'ensemble des éléments de F, images par f des éléments de A : .
Si P est une partie de F, est l'ensemble des éléments de E dont les images sont dans P : .
Dans cet exercice, les parties A sont des parties de R, alors que les parties sont des parties de ; de même les parties P sont des parties de , alors que les parties sont des parties de R.
1) b) est l'image réciproque de la partie de n'ayant pour élément que 
.
2) Ne pas confondre qui est l'image d'une partie de R n'ayant que 2 éléments et 
qui est l'image d'un intervalle de R.
Aide de méthodologie
2) Si P est une partie de R, chercher consiste à chercher les couples tels que .
Aide supplémentaire
1) c) est l'ensemble des 
tels que 
, donc tels que 
et 
.
Pour tout point 
du plan muni d'un repère orthonormé, il existe un réel r positif et un réel 
tels que 
et 
.
1) e) Les éléments de sont les tels que 
.
Solution
1) a) Puisque l'on a 
, x vérifie si et seulement si 
et 
. Or on sait que si et seulement si 
ou 
, 
.
Seuls, les ont un sinus positif.
Par conséquent, l'ensemble des x réels satisfaisant à l'équation est l'ensemble 
.
1) b) est l'ensemble des tels que 
, c'est-à-dire tels que et 
. Comme on a, pour tout , 
, il n'existe aucun vérifiant ces conditions.
Par conséquent
.
est l'ensemble des tels que , donc, d'après la question 1) a) on a :
1) c) est l'ensemble des tel que . Cet ensemble est non vide si et seulement si il existe un 
tel que 
et 
, donc une condition nécessaire est d'avoir 
.
Cette condition est suffisante : en effet, soient a et b vérifiant , et considérons le nombre complexe 
. Ce nombre est un nombre complexe de module 1, et d'argument 
, donc z s'écrit sous forme trigonométrique 
. On en déduit 
et 
. Par conséquent :
l'ensemble est non vide si et seulement si .
1) d) Soient a et b vérifiant , et soit appartenant à . Alors le réel 
appartient à si et seulement si 
et 
, donc si et seulement si 
, . Par conséquent :
.
1) e) Calcul de :
Les éléments de sont les tels que , donc tels que 
et 
; par conséquent un tel x appartient à un intervalle de la forme 
où k est un entier positif ou négatif. Donc est inclus dans la réunion de tous ces intervalles :
.
Il est clair que si x appartient à 
, alors et 
appartiennent à 
, donc
Remarque : les couples 
appartenant à 
mais tels que 
, n'ont pas d'antécédent dans R, comme cela a été vu dans le 1) c) pour le couple 
.
2) a) Puisque l'on a 
et 
, on a donc 
2) b) Soit 
, on a , avec et positifs et ,
Dans un plan muni d'un repère orthonormé , le point de coordonnées , , est tel que 
, 
et 
, donc ce point se trouve sur le quart de cercle compris entre les points de coordonnées et . Et pour tout point N du quart de cercle compris entre les points de coordonnées et , il existe un tel que les coordonnées de ce point N soient 
.
Par conséquent, dans un plan muni d'un repère orthonormé , l'ensemble des points de coordonnées , avec , est l'arc de cercle de centre 0 et de rayon 1, situé dans le quart de plan , et compris entre les points de coordonnées et .
c) On peut remarquer qu'on a 
et par un même raisonnement que précédemment, on en déduit que l'ensemble des points de coordonnées , avec 
, est le cercle de centre 0 et de rayon 1.